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 Wie kann ich begründen, dass es sich um eine schiefe Pyramide handelt? |
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Wario
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 |  Beitrag No.40, eingetragen 2021-12-10
|
\quoteon(2021-12-07 22:21 - thureduehrsen in Beitrag No. 9)
einer der Eckpunkte der Grundfläche liegt direkt unter der Spitze, also kann das keine gerade Pyramide sein.
\quoteoff
Stimmt, man könnte auch mal auf den Inhalt der Aufgabe achten...
Ich habe bei #36 sofort darüber nachgedacht, wie das im allgemeinen Fall geht.
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cramilu
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2021-12-10
|
thureduehrsen hatte die Titelfrage ja bereits mit
seinem Beitrag #1 kurz und prägnant beantwortet. 😉
Was die Frage anbelangt, wann eine Pyramide "gerade" ist,
so gibt WIKI eine klare Antwort:
Ist die Spitze einer Pyramide über ihrer Grundfläche so positioniert,
dass die Silhouette einem Beobachter, der sich in der Ebene der
Grundfläche befindet, aus möglichst vielen Blickrichtungen
als gleichschenkliges Dreieck erscheint, so heißt sie gerade.
Damit hat StrgAltEntf schon einmal Recht,
was Sehnenvielecke anbelangt, denn wenn man dort
die Spitze über dem Kreismittelpunkt wählt, dann gibt es
für jede Pyramidenseite zahlreiche Beobachtungspunkte,
von denen aus sie als gleichschenkliges Dreieck erscheint,
nämlich jeweils auf der jeweiligen Mittelsenkrechten
einer Grundkante außerhalb des Pyramidenkörpers.
Bei allen anderen Vielecken müsste man jeweils zunächst
sämtliche Mittelsenkrechten ihrer Seiten sowie deren
Schnittpunkte bestimmen, um dann darunter denjenigen
auszuwählen, in dem sich die meisten Mittelsenkrechten
schneiden, und über diesem die Pyramidenspitze zu wählen.
Ich persönlich halte für Nicht-Sehnenvielecke Warios Ansatz
mit dem Flächenschwerpunkt intuitiv für eingängiger!
Konstruktiv dürfte da der Aufwand gleich groß sein[?].
Geometrischer Schwerpunkt
p.s.
Betrachtet man als Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez,
bei dem der Basiswinkel 60° beträgt und bei dem die obere
Seite dreimal sowie die untere Seite viermal so lang ist wie
die Schenkel, so wird interessantes offenbar:
Die obere Figur führt zur "geraden" Pyramide, denn jedes
gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck; allerdings
liegt die Pyramidenspitze außerhalb der Grundfläche.
Die mittlere Figur liefert über den Diagonalenschnittpunkt
eben keine "gerade" Pyramide.
Bei der unteren Figur sind zwei Schwerlinien eingezeichnet;
die schräge nach Maßgabe Wikipedia über die gegenläufigen
Verlängerungen der parallelen Seiten. Der Schwerpunkt muss
demnach unterhalb des Diagonalenschnittpunktes liegen.
"Eindeutig schön" ist... irgendwie... anders... 🤔
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cramilu
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| Beitrag No.42, eingetragen 2021-12-12
|
Und noch ein Nachtrag...
Bei einer 60°-Raute kommen tatsächlich vier verschiedene
Punkte der Grundfläche als Fußpunkte unter der Spitze
einer "geraden" Pyramide infrage. Und zwei davon liegen
genau auf einem der Eckpunkte!
Also bleibt bezüglich der Eingangsfrage nur folgender Weg:
1. Zeige die Parallelität der Grundfläche zur x-y-Ebene.
2. Zeige über die Seitenvektoren das Parallelogramm!
3. Zeige über ein Skalarprodukt das Rechteck!
(Ermittle dann gleich über die Vektorenlängen die Fläche!)
4. Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck, also muss die
Spitze einer "geraden" Pyramide über dem Schnittpunkt
der Diagonalen liegen, welcher gleichzeitig Schwerpunkt ist.
Tut sie aber nicht, sondern liegt über einer der Ecken,
also ist die Pyramide "schief".
...
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Wario
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| Beitrag No.43, eingetragen 2021-12-12
|
\quoteon(2021-12-10 20:18 - cramilu in Beitrag No. 41)
Was die Frage anbelangt, wann eine Pyramide "gerade" ist,
so gibt WIKI eine klare Antwort:
Ist die Spitze einer Pyramide über ihrer Grundfläche so positioniert,
dass die Silhouette einem Beobachter, der sich in der Ebene der
Grundfläche befindet, aus möglichst vielen Blickrichtungen
als gleichschenkliges Dreieck erscheint, so heißt sie gerade.
\quoteoff
Das ist aber eine schreckliche Definition.
Und die führt m.E. auch im Allgemeinen zu einer mehrdeutigen Lösung:
Die Menge aller gleichschenkligen Dreiecke hat ihre Dreiecksspitzen auf der Mittelsenkrechten über einer Vieleckskante.
Um zu ermitteln, welche Punkte der Grundfläche als Höhenfußpunkte einer geraden Pyramide infrage kommen, müsste man die Schnittpunkte sämtlicher Mittelsenkrechten der Kanten der Grundfläche bestimmen.
In folgendem Beispiel für eine allgemeine Vielecksgrundfläche gäbe es 9 Punkte von denen aus ein Beobachter, der sich in der Ebene der
Grundfläche befindet, jeweils 2 gleichschenklige Dreiecke sieht.
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\draw[] (0,0) coordinate[label=below:$A$] (A)
-- (180:4) coordinate[label=-135:$E$] (E)
-- ++(135:2) coordinate[label=below:$D$] (D)
-- ++(90:2.5) coordinate[label=$C$] (C)
-- ++(0:3) coordinate[label=$B$] (B)
--cycle;
% Mittelsenkrechte
\coordinate[] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[name path=mABo, gray] (MAB) -- ($(MAB)!-2cm!90:(B)$) node[near start, sloped, below]{$m_{AB}$};
\draw[name path=mAB, gray] (MAB) -- ($(MAB)!8cm!90:(B)$) coordinate[](MABs);
\coordinate[] (MBC) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[gray] (MBC) -- ($(MBC)!-1cm!90:(C)$) node[midway, right]{$m_{BC}$};
\draw[name path=mBC, gray] (MBC) -- ($(MBC)!4.5cm!90:(C)$) coordinate[](MBCs);
\coordinate[] (MCD) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[gray] (MCD) -- ($(MCD)!1cm!90:(C)$) node[midway, above]{$m_{CD}$};
\draw[name path=mCD, gray] (MCD) -- ($(MCD)!6cm!90:(D)$) coordinate[](MCDs);
\coordinate[] (MDE) at ($(D)!0.5!(E)$);
\draw[name path=mDEo, gray] (MDE) -- ($(MDE)!4cm!90:(D)$) node[very near start, above, sloped]{$m_{DE}$};
\draw[name path=mDE, gray] (MDE) -- ($(MDE)!6cm!90:(E)$) coordinate[](MDEs);
\coordinate[] (MEA) at ($(A)!0.5!(E)$);
\draw[name path=MEAo, gray] (MEA) -- ($(MEA)!1cm!90:(E)$) node[midway, right]{$m_{EA}$};
\draw[name path=MEA, gray] (MEA) -- ($(MEA)!5cm!90:(A)$) coordinate[](MEAs);
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=mAB and mBC, name=SAB}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AB}$
] (SAB) at (SAB-1);
\path[name intersections={of=mCD and mBC, name=SBC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BC}$
] (SBC) at (SBC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mABo, name=SAC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AC}$
] (SAC) at (SAC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mDE, name=SCD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{CD}$
] (SCD) at (SCD-1);
\path[name intersections={of=mBC and mDE, name=SBD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BD}$
] (SBD) at (SBD-1);
\path[name intersections={of=mAB and mDEo, name=SAD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AD}$
] (SAD) at (SAD-1);
\path[name intersections={of=MEA and mAB, name=SEA}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EA}$
] (SEA) at (SEA-1);
\path[name intersections={of=MEA and mCD, name=SEC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EC}$
] (SEC) at (SEC-1);
\path[name intersections={of=MEA and mDE, name=SED}];
\coordinate[%label=-45:$S_{DE}$
] (SED) at (SED-1);
%% Schenkel zu den Vielecksecken
\begin{scope}[very thin, red]
%\draw[densely dashed] (A) -- (SAB) -- (B);
%\draw[densely dashed] (B) -- (SAB) -- (C);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (B);
%\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (D);
%
%\draw[densely dashed] (B) -- (SBD) -- (C);
%\draw[densely dashed] (D) -- (SBD) -- (E);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SCD) -- (D);
%\draw[densely dashed] (D) -- (SCD) -- (E);
%
%\draw[densely dashed] (E) -- (SEA) -- (A);
%\draw[densely dashed] (B) -- (SEA) -- (C);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SEC) -- (D);
%\draw[densely dashed] (E) -- (SEC) -- (A);
\end{scope}
% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MABs--MAB--A};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MBCs--MBC--B};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =D--MCD--MCDs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =E--MDE--MDEs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =A--MEA--MEAs};
%% Schnittpunkte
\foreach \P in {SAB, SAC, SAD, SCD, SBD, SEC, SED, SEA, SBC} \fill[red] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
$
Wollte man die Aufgabe hier
\quoteon(2021-12-07 21:57 - Chinqi im Themenstart)
geg.: A(5/-2/-3) B(2/2/-3) C(-6/-4/-3) D(-3/-8/-3) und Spitze S(2/2/3)
Wie kann ich begründen, dass es sich um eine schiefe Pyramide handelt?
\quoteoff
streng nach o.g. Definition lösen, würde es reichen, die Abstände des Fußpunktes $F$ des Lotes der Spitze $S$ auf die Ebene der Grundfläche (Berechnung siehe #36) zu den Ecken $A,B,C,D$ zu bestimmen.
Sind darunter nicht zwei oder mehr gleiche Abstände, sieht man von $F$ aus auch keine gleichschenkligen Dreiecke und die Pyramide muss schief sein.
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cramilu
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| Beitrag No.44, eingetragen 2021-12-12
|
»Wir irren uns empor...« 🤔
\quoteon(2021-12-12 12:12 - Wario in Beitrag No. 43)
Das ist aber eine schreckliche Definition.
\quoteoff
So dumm ist die gar nicht... ich [wir] Trottel! 🙄
"Silhouette" steht da. Nicht "Seite"!
Wer lesen kann, ist halt stets klar im Vorteil. 😉
Zweifel waren mir gekommen, als ich mir zu der 60°-Raute
als Grundfläche überlegt hatte, was wohl wäre, wenn deren
Eckpunkte die Außenpunkte zweier Ellipsenachsen wären,
und man dann über der Ellipsengrundfläche einen "geraden
Ellipsenkegel" errichten wollte...
... und dann ist der sprichwörtliche Groschen gefallen.
Die Ellipsenbrennpunkte sind in Violett eingezeichnet.
Die Silhouette des Kegels erscheint natürlich genau
dann aus vier Richtungen als gleichschenkliges Dreieck,
wenn die Spitze über dem Achsenschnittpunkt liegt;
bei der Raute entsprechend über dem Schnittpunkt der
Diagonalen, welcher gleichzeitig Flächenschwerpunkt ist.
Bei einem unregelmäßigen Vieleck müsste man also
zusätzlich zu den Mittelsenkrechten der Grundseiten
auch noch jene sämtlicher Diagonalen einzeichnen
und dann erst nach dem besten Fußpunkt suchen...
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Wario
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| Beitrag No.45, eingetragen 2021-12-13
|
Ich fürchte, ich komme nicht mit.
\quoteon(2021-12-12 22:27 - cramilu in Beitrag No. 44)
Bei einem unregelmäßigen Vieleck müsste man also
zusätzlich zu den Mittelsenkrechten der Grundseiten
auch noch jene sämtlicher Diagonalen einzeichnen
und dann erst nach dem besten Fußpunkt suchen...
\quoteoff
Zunächst: Ich hatte eigentlich auch die gleichschenkligen Dreiecke zu den Schnittpunkten der Mittelsenkrechten implementiert; ich dachte nur, wenn ich die alle einzeichne, wird es zu unübersichtlich.
Für einen willkürlich gewählten Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechter erhält man folgende zwei gleichschenklige Dreiecke:
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\draw[] (0,0) coordinate[label=below:$A$] (A)
-- (180:4) coordinate[label=-135:$E$] (E)
-- ++(135:2) coordinate[label=below:$D$] (D)
-- ++(90:2.5) coordinate[label=$C$] (C)
-- ++(0:3) coordinate[label=$B$] (B)
--cycle;
% Mittelsenkrechte
\coordinate[] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[name path=mABo, gray] (MAB) -- ($(MAB)!-2cm!90:(B)$) node[near start, sloped, below]{$m_{AB}$};
\draw[name path=mAB, gray] (MAB) -- ($(MAB)!8cm!90:(B)$) coordinate[](MABs);
\coordinate[] (MBC) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[gray] (MBC) -- ($(MBC)!-1cm!90:(C)$) node[midway, right]{$m_{BC}$};
\draw[name path=mBC, gray] (MBC) -- ($(MBC)!4.5cm!90:(C)$) coordinate[](MBCs);
\coordinate[] (MCD) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[gray] (MCD) -- ($(MCD)!1cm!90:(C)$) node[midway, above]{$m_{CD}$};
\draw[name path=mCD, gray] (MCD) -- ($(MCD)!6cm!90:(D)$) coordinate[](MCDs);
\coordinate[] (MDE) at ($(D)!0.5!(E)$);
\draw[name path=mDEo, gray] (MDE) -- ($(MDE)!4cm!90:(D)$) node[very near start, above, sloped]{$m_{DE}$};
\draw[name path=mDE, gray] (MDE) -- ($(MDE)!6cm!90:(E)$) coordinate[](MDEs);
\coordinate[] (MEA) at ($(A)!0.5!(E)$);
\draw[name path=MEAo, gray] (MEA) -- ($(MEA)!1cm!90:(E)$) node[midway, right]{$m_{EA}$};
\draw[name path=MEA, gray] (MEA) -- ($(MEA)!5cm!90:(A)$) coordinate[](MEAs);
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=mAB and mBC, name=SAB}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AB}$
] (SAB) at (SAB-1);
\path[name intersections={of=mCD and mBC, name=SBC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BC}$
] (SBC) at (SBC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mABo, name=SAC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AC}$
] (SAC) at (SAC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mDE, name=SCD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{CD}$
] (SCD) at (SCD-1);
\path[name intersections={of=mBC and mDE, name=SBD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BD}$
] (SBD) at (SBD-1);
\path[name intersections={of=mAB and mDEo, name=SAD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AD}$
] (SAD) at (SAD-1);
\path[name intersections={of=MEA and mAB, name=SEA}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EA}$
] (SEA) at (SEA-1);
\path[name intersections={of=MEA and mCD, name=SEC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EC}$
] (SEC) at (SEC-1);
\path[name intersections={of=MEA and mDE, name=SED}];
\coordinate[%label=-45:$S_{DE}$
] (SED) at (SED-1);
%% Schenkel zu den Vielecksecken
\begin{scope}[very thin, red]
%\draw[densely dashed] (A) -- (SAB) -- (B);
%\draw[densely dashed] (B) -- (SAB) -- (C);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (B);
%\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (D);
%
\draw[densely dashed] (B) -- (SBD) -- (C);
\draw[densely dashed] (D) -- (SBD) -- (E);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SCD) -- (D);
%\draw[densely dashed] (D) -- (SCD) -- (E);
%
%\draw[densely dashed] (E) -- (SEA) -- (A);
%\draw[densely dashed] (B) -- (SEA) -- (C);
%
%\draw[densely dashed] (C) -- (SEC) -- (D);
%\draw[densely dashed] (E) -- (SEC) -- (A);
\end{scope}
% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MABs--MAB--A};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MBCs--MBC--B};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =D--MCD--MCDs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =E--MDE--MDEs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =A--MEA--MEAs};
%% Schnittpunkte
\foreach \P in {SAB, SAC, SAD, SCD, SBD, SEC, SED, SEA, SBC} \fill[red] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
$
Das heißt: stünde ein Beobachter im Schnittpunkt von $m_{DE}$ und $m_{BC}$, und wäre das der Höhenfußpunkt einer Pyramide mit irgendeiner Höhe, so sähe er, wenn er in z-Richtung schaute, die beiden hervorgehobenen gleichschenkligen Dreiecke.
Mit den anderen Schnittpunkten liefe es entsprechend.
Wäre das jetzt also eine gerade Pyramide im Sinne der wikipedia-Definition?
\showon Zeichnet man alle Schenkel ein (für die Schnittpunkte innerhalb der Grundfläche):
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\draw[] (0,0) coordinate[label=below:$A$] (A)
-- (180:4) coordinate[label=-135:$E$] (E)
-- ++(135:2) coordinate[label=below:$D$] (D)
-- ++(90:2.5) coordinate[label=$C$] (C)
-- ++(0:3) coordinate[label=$B$] (B)
--cycle;
% Mittelsenkrechte
\coordinate[] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[name path=mABo, gray] (MAB) -- ($(MAB)!-2cm!90:(B)$) node[near start, sloped, below]{$m_{AB}$};
\draw[name path=mAB, gray] (MAB) -- ($(MAB)!8cm!90:(B)$) coordinate[](MABs);
\coordinate[] (MBC) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[gray] (MBC) -- ($(MBC)!-1cm!90:(C)$) node[midway, right]{$m_{BC}$};
\draw[name path=mBC, gray] (MBC) -- ($(MBC)!4.5cm!90:(C)$) coordinate[](MBCs);
\coordinate[] (MCD) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[gray] (MCD) -- ($(MCD)!1cm!90:(C)$) node[midway, above]{$m_{CD}$};
\draw[name path=mCD, gray] (MCD) -- ($(MCD)!6cm!90:(D)$) coordinate[](MCDs);
\coordinate[] (MDE) at ($(D)!0.5!(E)$);
\draw[name path=mDEo, gray] (MDE) -- ($(MDE)!4cm!90:(D)$) node[very near start, above, sloped]{$m_{DE}$};
\draw[name path=mDE, gray] (MDE) -- ($(MDE)!6cm!90:(E)$) coordinate[](MDEs);
\coordinate[] (MEA) at ($(A)!0.5!(E)$);
\draw[name path=MEAo, gray] (MEA) -- ($(MEA)!1cm!90:(E)$) node[midway, right]{$m_{EA}$};
\draw[name path=MEA, gray] (MEA) -- ($(MEA)!5cm!90:(A)$) coordinate[](MEAs);
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=mAB and mBC, name=SAB}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AB}$
] (SAB) at (SAB-1);
\path[name intersections={of=mCD and mBC, name=SBC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BC}$
] (SBC) at (SBC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mABo, name=SAC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AC}$
] (SAC) at (SAC-1);
\path[name intersections={of=mCD and mDE, name=SCD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{CD}$
] (SCD) at (SCD-1);
\path[name intersections={of=mBC and mDE, name=SBD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{BD}$
] (SBD) at (SBD-1);
\path[name intersections={of=mAB and mDEo, name=SAD}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AD}$
] (SAD) at (SAD-1);
\path[name intersections={of=MEA and mAB, name=SEA}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EA}$
] (SEA) at (SEA-1);
\path[name intersections={of=MEA and mCD, name=SEC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{EC}$
] (SEC) at (SEC-1);
\path[name intersections={of=MEA and mDE, name=SED}];
\coordinate[%label=-45:$S_{DE}$
] (SED) at (SED-1);
%% Schenkel zu den Vielecksecken
\begin{scope}[very thin, red]
\draw[densely dashed] (A) -- (SAB) -- (B);
\draw[densely dashed] (B) -- (SAB) -- (C);
\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (B);
\draw[densely dashed] (C) -- (SBC) -- (D);
\draw[densely dashed] (B) -- (SBD) -- (C);
\draw[densely dashed] (D) -- (SBD) -- (E);
\draw[densely dashed] (C) -- (SCD) -- (D);
\draw[densely dashed] (D) -- (SCD) -- (E);
\draw[densely dashed] (E) -- (SEA) -- (A);
\draw[densely dashed] (B) -- (SEA) -- (C);
\draw[densely dashed] (C) -- (SEC) -- (D);
\draw[densely dashed] (E) -- (SEC) -- (A);
\end{scope}
% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MABs--MAB--A};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =MBCs--MBC--B};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =D--MCD--MCDs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =E--MDE--MDEs};
\draw pic [angle radius=2mm, draw,
pic text={$\cdot$},
] {angle =A--MEA--MEAs};
%% Schnittpunkte
\foreach \P in {SAB, SAC, SAD, SCD, SBD, SEC, SED, SEA, SBC} \fill[red] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
$
\showoff
Wie dem auch sei:
Das
\quoteon(2021-12-10 20:18 - cramilu in Beitrag No. 41)
Was die Frage anbelangt, wann eine Pyramide "gerade" ist,
so gibt WIKI eine klare Antwort:
Ist die Spitze einer Pyramide über ihrer Grundfläche so positioniert,
dass die Silhouette einem Beobachter, der sich in der Ebene der
Grundfläche befindet, aus möglichst vielen Blickrichtungen
als gleichschenkliges Dreieck erscheint, so heißt sie gerade.
\quoteoff
ist trotzdem eine unsägliche "Definition" von wikipedia, die sowieso den Anschein erweckt, die "gerade Pyramide" eher sprachlich oder "anschaulich" formulieren zu wollen.
Eine gescheite mathematische Definition würde das eher über die Abwicklung (oder das Netz) der Pyramide erklären.
Wie gesagt: Wenn das Bild oder die Auffassung oben nicht stimmt, ist mir unklar, wie man im -allgemeinen Fall- die möglichen Höhenfußpunkte ermitteln soll.
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PS:
\quoteon(2021-12-12 22:27 - cramilu in Beitrag No. 44)
Die Ellipsenbrennpunkte sind in Violett eingezeichnet.
Die Silhouette des Kegels erscheint natürlich genau
dann aus vier Richtungen als gleichschenkliges Dreieck,
wenn die Spitze über dem Achsenschnittpunkt liegt;
bei der Raute entsprechend über dem Schnittpunkt der
Diagonalen, welcher gleichzeitig Flächenschwerpunkt ist.
\quoteoff
Auch wenn mir jetzt immer noch nicht ganz klar ist, warum man -gemäß dieser wikipedia Definition (#41)- vom Diagonalenschnittpunkt der Raute die meisten gleichschenkligen Dreiecke "in der Silhouette" sieht, halte ich das für eine unsinnige Definition (darum ging es ja erstmal).
Vielleicht sollte man den Begriff "Silhouette" erstmal gescheit definieren. Das spart wikipedia -an dieser Stelle- aus.
Vielleicht sollte man mal einen Drachen betrachten, als weniger symmetrisches Beispiel. Wie sähe es da aus?
Zum anderen scheint mir diese Definition für allgemeine Vielecke keine eindeutige Lösung zu bescheren. Und die Kandidaten für Höhenfußpunkte dürften schwierig zu konstruieren sein.
Würde man die gerade Pyramide über den Schwerpunkt als Höhenfußpunkt definieren, hätte man immer eine eindeutige Lösung, die lediglich den "Nachteil" hat, dass der Höhenfußpunkt bei Sehnenvielecken (z.B. allgemeinen Dreiecken) nicht mehr der Umkreismittelpunkt ist. Bei allen regelmäßigen Vielecken würde es dann aber passen. Naja, scheints hat sich sowieso noch nie jemand darüber Gedanken gemacht; woher die wikipedia-Definition kommt, ist auch unbekannt.
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| Beitrag No.47, eingetragen 2021-12-13
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PPS: Vielleicht können wir ja hier eine saubere Definition ausarbeiten...
(Falls nötig kann man den Thread auch an passender Stelle abspalten.)
Ich könnte mir das irgendwie so vorstellen:
Der Fußpunkt des Lotes von der Pyramidenspitze auf die Ebene der Grundfläche sei der Höhenfußpunkt genannt.
Eine Pyramide heißt gerade, wenn der Höhenfußpunkt mit ........ zusammenfällt. Ansonsten heißt die Pyramide schief.
Der Begriff Silhouette sollte da möglichst nicht vorkommen.
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cramilu
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| Beitrag No.48, eingetragen 2021-12-14
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| Beitrag No.49, eingetragen 2021-12-14
|
Was spricht eigentlich gegen eine Definition des folgenden Typs?
"Eine Pyramide heißt, in Abhängigkeit von der Position ihrer Spitze, gerade, wenn ihre Abwicklung (ihr Netz) eine größtmögliche Anzahl von gleichschenkligen Dreiecken aufweist.
Ansonsten heißt die Pyramide schief."
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_2_555555.png
PS: Liest man bei wikipedia weiter findet man:
Weist die Grundfläche einer Pyramide keinerlei Symmetrien auf, dann hat der Begriff gerade keine sinnvolle Bedeutung mehr. Ist die Grundfläche beispielsweise ein beliebiges Dreieck, so muss die Spitze der Pyramide senkrecht über seinem Umkreismittelpunkt liegen, damit alle Seitenkanten gleich lang sind. Ist dieses Dreieck stumpfwinklig, dann liegt der Lotfußpunkt der Spitze sogar außerhalb der Grundfläche – was der anschaulichen Bedeutung von gerade widerspricht.
So gesehen war mein Beispiel #43 unnötig zu untersuchen. Allerdings wäre es mathematischer zu begründen, dass es in dem Fall mehrere Kandidaten für Höhenfußpunkte unter einer Pyramidenspitze gibt und daher der Begriff gerade mehrdeutig wäre.
Weiterhin Kritik an der dortigen Definition
Ist die Spitze einer Pyramide über ihrer Grundfläche so positioniert,
dass die Silhouette einem Beobachter, der sich in der Ebene der
Grundfläche befindet, aus möglichst vielen Blickrichtungen
als gleichschenkliges Dreieck erscheint, so heißt sie gerade.
Das ist m.E. eine sprachliche Formulierung und keine mathematische; und vermutlich das prosaische Geschick einer Einzelperson; auch daran gemessen, dass eine Quellangabe fehlt.
In der Mathematik arbeitet man mit Nominaldefinitionen und weniger mit Begriffen des allgemeinen oder spezifischen Sprachgebrauchs.
Der Begriff "Silhouette" wäre hier also exakt zu erklären; z.B. als Bild einer Projektion in einer Ebene, die senkrecht zur Ebene der Grundfläche steht (es sei denn, ich verstehe irgendwas miss).
In allen Fällen "sieht man" in diesem Projektionsbild aber Teile der Abwicklung (siehe Anfang dieses Beitrags), also ist es m.E. weit sinnvoller die gerade Pyramide über Eigenschaften der Abwicklung (des Netzes) zu erklären.
Einen verkomplizierenden, und überhaupt erst zu definierenden, Begriff wie "Silhouette" dürfte es dabei nicht brauchen.
Auch ist die Forderung "aus möglichst vielen Blickrichtungen" eine komplett schwammige Formulierung.
PPS:
· Meyers Großer Rechenduden (Mannheim, 1961) fackelt da nicht groß rum:
Hat die Grundfläche einer Pyramide einen Umkreis und geht das Lot von der Spitze der Pyramide durch den Mittelpunkt des Umkreises, so heißt die Pyramide gerade, andernfalls schief.
· Fachlexikon ABC Mathematik (Harri Deutsch, 1978) meint vermutlich das gleiche, aber formuliert es weniger genau:
Hat die Grundfläche einen Mittelpunkt und ist dieser Fußpunkt des von der Spitze auf die Grundfläche gefällten Lotes, so wird die Pyramide gerade genannt, alle anderen Pyramiden aber schief.
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wario
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| Beitrag No.50, eingetragen 2021-12-14
|
\quoteon(2021-12-14 12:03 - Wario in Beitrag No. 49)
· Meyers Großer Rechenduden (Mannheim, 1961) fackelt da nicht groß rum:
Hat die Grundfläche einer Pyramide einen Umkreis und geht das Lot von der Spitze der Pyramide durch den Mittelpunkt des Umkreises, so heißt die Pyramide gerade, andernfalls schief.
\quoteoff
Auch diese Definition ist nicht unbedingt gut: beispielsweise ein Drachenviereck hat im Allgemeinen keinen Umkreismittelpunkt; dennoch könnte man sich -intuitiv- eine "gerade Pyramide" vorstellen, deren Höhenfußpunkt der Diagonalenschnittpunkt eines Drachens ist.
Also scheint es sinnvoller die gerade Pyramide mit Hilfe von gleichschenkligen Dreiecken zu definieren.
Aber bevor ich zu weit ausschweife, sollte vielleicht erstmal meine Ausgangsfrage Beitrag #49 geklärt werden.
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Wario
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| Beitrag No.51, eingetragen 2021-12-15
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Beispiel Drachenviereck.
· Bei einem rechtwinkligen Drachen ist der Höhenfußpunkt einer geraden Pyramide der Umkreismittelpunkt der Grundfläche.
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\pgfmathsetmacro\a{3}
\pgfmathsetmacro\b{4}
\pgfmathsetmacro\e{5}
%\pgfmathsetmacro\e{6.5}
\pgfmathsetmacro\p{\a^2/\e}
\pgfmathsetmacro\q{\b^2/\e}
\pgfmathsetmacro\f{2*sqrt(\p*\q)}
%\pgfmathsetmacro\f{sqrt(\a^2-\p^2)}
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\e,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\p,-0.5*\f);
\coordinate[label=$D$] (D) at (\p,0.5*\f);
\draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\draw[densely dashed] (A) -- (C);
\draw[densely dashed] (B) -- (D);
\pgfmathsetmacro\Beta{int( acos((\a^2+\b^2-\e^2)/(2*\a*\b)) )}
\ifnum\Beta=90
\coordinate[label=$$] (M) at (0.5*\e,0);
\draw[densely dashed, gray] (M) circle[radius=0.5*\e] %node[above]{\Beta}
;
\fi
%% Mittelsenkrechte
\coordinate[] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[name path=mABo, gray] (MAB) -- ($(MAB)!-15mm!90:(B)$) node[midway, sloped, below]{$m_{AB}$};
\draw[name path=mAB, gray] (MAB) -- ($(MAB)!47mm!90:(B)$) coordinate[](MABs);
\coordinate[] (MAD) at ($(A)!0.5!(D)$);
\draw[name path=mADo, gray] (MAD) -- ($(MAD)!15mm!90:(D)$) node[midway, sloped, below]{$m_{AD}$};
\draw[name path=mAD, gray] (MAD) -- ($(MAD)!-47mm!90:(D)$) coordinate[](MADs);
\coordinate[] (MBC) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[gray] (MBC) -- ($(MBC)!-15mm!90:(C)$) node[midway, sloped, below]{$m_{BC}$};
\draw[name path=mBC, gray] (MBC) -- ($(MBC)!47mm!90:(C)$) coordinate[](MBCs);
\coordinate[] (MCD) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[gray] (MCD) -- ($(MCD)!15mm!90:(C)$) node[midway, sloped, below]{$m_{CD}$};
\draw[name path=mCD, gray] (MCD) -- ($(MCD)!47mm!90:(D)$) coordinate[](MCDs);
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=mAB and mAD, name=SAA}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AA}$
] (SAA) at (SAA-1);
\path[name intersections={of=mBC and mCD, name=SCC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{CC}$
] (SCC) at (SCC-1);
%% Schenkel zu den Vielecksecken
\draw[densely dashed, red] (A) -- (SAA) -- (B);
\draw[densely dashed, red] (A) -- (SAA) -- (D);
\draw[densely dashed, red] (C) -- (SCC) -- (B);
\draw[densely dashed, red] (C) -- (SCC) -- (D);
% Punkte
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother
\foreach \P in {M, SAA, SCC}{
\ifcoorddefined{\P}{ \draw[fill=red] (\P) circle[radius=1.5pt]; }{}
}
\end{tikzpicture}
$
· Bei einem allgemeinen Drachen fände man zwei Kandidaten für Höhenfußpunkte, weshalb der Begriff "gerade Pyramide" (vermutlich) abhold ist.
$
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\pgfmathsetmacro\a{3}
\pgfmathsetmacro\b{4}
%\pgfmathsetmacro\e{5}
\pgfmathsetmacro\e{6.5}
\pgfmathsetmacro\p{\a^2/\e}
\pgfmathsetmacro\q{\b^2/\e}
\pgfmathsetmacro\f{2*sqrt(\p*\q)}
%\pgfmathsetmacro\f{sqrt(\a^2-\p^2)}
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\e,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\p,-0.5*\f);
\coordinate[label=$D$] (D) at (\p,0.5*\f);
\draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\draw[densely dashed] (A) -- (C);
\draw[densely dashed] (B) -- (D);
\pgfmathsetmacro\Beta{int( acos((\a^2+\b^2-\e^2)/(2*\a*\b)) )}
\ifnum\Beta=90
\coordinate[label=$$] (M) at (0.5*\e,0);
\draw[densely dashed, gray] (M) circle[radius=0.5*\e] %node[above]{\Beta}
;
\fi
%% Mittelsenkrechte
\coordinate[] (MAB) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[name path=mABo, gray] (MAB) -- ($(MAB)!-15mm!90:(B)$) node[midway, sloped, below]{$m_{AB}$};
\draw[name path=mAB, gray] (MAB) -- ($(MAB)!47mm!90:(B)$) coordinate[](MABs);
\coordinate[] (MAD) at ($(A)!0.5!(D)$);
\draw[name path=mADo, gray] (MAD) -- ($(MAD)!15mm!90:(D)$) node[midway, sloped, below]{$m_{AD}$};
\draw[name path=mAD, gray] (MAD) -- ($(MAD)!-47mm!90:(D)$) coordinate[](MADs);
\coordinate[] (MBC) at ($(B)!0.5!(C)$);
\draw[gray] (MBC) -- ($(MBC)!-15mm!90:(C)$) node[midway, sloped, below]{$m_{BC}$};
\draw[name path=mBC, gray] (MBC) -- ($(MBC)!47mm!90:(C)$) coordinate[](MBCs);
\coordinate[] (MCD) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[gray] (MCD) -- ($(MCD)!15mm!90:(C)$) node[midway, sloped, below]{$m_{CD}$};
\draw[name path=mCD, gray] (MCD) -- ($(MCD)!47mm!90:(D)$) coordinate[](MCDs);
% Schnittpunkte
\path[name intersections={of=mAB and mAD, name=SAA}];
\coordinate[%label=-45:$S_{AA}$
] (SAA) at (SAA-1);
\path[name intersections={of=mBC and mCD, name=SCC}];
\coordinate[%label=-45:$S_{CC}$
] (SCC) at (SCC-1);
%% Schenkel zu den Vielecksecken
\draw[densely dashed, red] (A) -- (SAA) -- (B);
\draw[densely dashed, red] (A) -- (SAA) -- (D);
\draw[densely dashed, red] (C) -- (SCC) -- (B);
\draw[densely dashed, red] (C) -- (SCC) -- (D);
% Punkte
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother
\foreach \P in {M, SAA, SCC}{
\ifcoorddefined{\P}{ \draw[fill=red] (\P) circle[radius=1.5pt]; }{}
}
\end{tikzpicture}
$
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Wario
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| Beitrag No.52, eingetragen 2021-12-16
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Damit das Thema in dem Aufgabenthread hier nicht untergeht, besser hier weiter diskutieren https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=256775
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