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Universität/Hochschule J Linksstetigkeit
Jannik_S
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  Themenstart: 2021-12-08

Hallo liebe Community, ich habe folgende Frage an Euch. Eine Funktion \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) heißt linksstetig in \(a \in \mathbb{R}\), falls für jede Folge \((a_n)\), die von unten gegen \(a\) konvergiert, \(f(a_n)\) gegen \(f(a)\) konvergiert. Warum kann man hierbei o.B.d.A. annehmen, dass \((a_n)\) monoton steigend ist? Vielen Dank und liebe Grüße Jannik


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da gesichert ist, dass die Folge konvergiert und kein Folgenglied größer als \(a\) ist, kann man ja in Gedanken einfach diejenigen Folgenglieder auslassen, die diese Monotonie stören würden. Wegen der bekannten Konvergenz muss es zu jedem Glied \(a_m\) ein solches \(a_n\) geben, so dass \(a_n>a_m\) ist (-> Definition der Folgenkonvergenz). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Jannik_S
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Hallo Diophant, vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Es folgt also: Da \((a_n)\) eine monotone Teilfolge \((a_{n_k})\) besitzt, konvergiert somit \(f(a_{n_k})\) gegen \(f(a)\). Aber warum folgt daraus, dass auch \(f(a_n)\) gegen \(f(a)\) konvergiert? Ich meine, falls \(f(a_n)\) konvergiert, ist dies klar, aber wir wissen doch noch nicht, dass \(f(a_n)\) überhaupt konvergiert, oder? LG Jannik


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-12-08 13:07 - Jannik_S in Beitrag No. 2) Ich meine, falls \(f(a_n)\) konvergiert, ist dies klar, aber wir wissen doch noch nicht, dass \(f(a_n)\) überhaupt konvergiert, oder? \quoteoff Die Folge der Funktionswerte konvergiert ja auch nur im Fall der Linksstetigkeit gegen \(f(a)\). Das ist ja die Definition. Bzw. eine der möglichen Definitionen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Jannik_S
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Das stimmt. Ich möchte hier allerdings zeigen, dass es egal ist, ob unsere Folge \((a_n)\) monoton ist oder nicht. Das heißt, wir nehmen hier nur an, dass für monotone Folgen \((a_n)\) die Folge der Funktionswerte konvergiert.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Wenn die Folge \(a_n\) doch als konvergent angenommen wird, dann ist doch jede Teilfolge davon auch konvergent. Also insbesondere auch jede monoton steigende Teilfolge. Ergo kann man gleich von vornherein eine solche Folge zur Definition hernehmen. Daher ja die Formulierung, dass man o.B.d.A. Monotonie annimmt. Das ist ja nicht nur eine inhaltsleere Floskel, sondern klug angewendet (so wie hier) ein Hinweis darauf, dass man eine kleine Lücke in der Argumentation selbst füllen sollte. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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