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  Satz von Jegorow |
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finn_2431
Junior 
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2021-12-09
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Hallo zusammen,
ich arbeite gerade die heutige Vorlesung nach und nun stellt sich mir eine Frage zu dem Satz von Jegorow:
Laut Satz gibt es "zu jedem epsilon > 0 eine messbare Menge M mit m(M) < epsilon, sodass ...".
Ich frage mich nun, warum es nicht heißt "dann gibt es eine Nullmenge, sodass..."
Ist der erste Ausdruck nützlicher oder kann ich das gar nicht auf Nullmengen übertragen?
Danke für eure Antworten!
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1860
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}
\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\map}{\operatorname{map}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
Es wäre hilfreicher gewesen, wenn du die gesamte Aussage aufgeschrieben hättest anstatt nur dieses Stück zu geben, woraus man nichts schließen kann.
Deine zweite Vermutung ist richtig, es lässt sich einfach nicht immer $m(M) = 0$ wählen, sodass der Satz von Egorov eintrifft.\(\endgroup\)
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-09
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Hallo Kezer,
danke für deine Antwort!
Zur Vollständigkeit die ganze Aussage:
"Sei fn eine Folge messbarer Funktionen von R nach R, die punktweise gegen eine Funktion f:R->R konvergiert.
Sei weiter O Teilmenge R messbar mit m(O) < inf.
Dann gibt es zu jedem epsilon > 0 eine messbare Menge M Teilmenge O mit m(M) < epsilon, sodass fn auf O\M gleichmäßig gegen f konvergiert."
Woran liegt das, dass nicht m(M) = 0 gewählt werden kann?
Gibt es ein Gegenbeispiel bzw. kann ich das direkt aus m(M) < epsilon schließen?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1860
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-09
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Wenn eine Folge punktweise konvergiert, dann kann man nicht erwarten, dass sie fast überall gleichmäßig konvergiert. (Ja, es gibt Gegenbeispiele.)
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-10
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Also ich habe mir folgende punktweise konvergente Folge definiert
fn(x)=sin(nx)/sqrt(n). Die glm. Konvergenz habe ich widerlegt.
Ich verstehe jedoch nicht, wie ich jetzt eine solche Nullmenge finden kann.
Oder könnte ich einfach die rationalen Zahlen nehmen?
Danke!
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-11
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Hallo finn_2431,
\quoteon(2021-12-10 21:30 - finn_2431 in Beitrag No. 4)
fn(x)=sin(nx)/sqrt(n). Die glm. Konvergenz habe ich widerlegt.
\quoteoff
Das kann nicht sein, es gilt \(\|f_n\|_\infty=\frac{1}{\sqrt{n}}\to0\).
Versuch es Doch mal stattdessen mit \(f_n(x)=1\) für \(x\in(0,\frac{1}{n})\) und \(f_n(x)=0\) sonst (Also \(f_n=\chi_{(0,\frac{1}{n})}\)). \(f_n\) geht punktweise gegen \(0\).
Für \(O=(0,1)\) kannst Du Dir leicht überlegen, dass es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein messbares \(M\subseteq O\) (welches von \(\varepsilon\) abhängt!) mit \(\lambda^1(M)<\varepsilon\) gibt, sodass \(f_n\) auf \(O\setminus M\) gleichmäßig gegen \(0\) konvergiert.
Allerdings kannst Du Dir auch überlegen, dass es kein messbares \(M\subseteq O\) gibt, sodass \(\lambda^1(M)=0\) ist und \(f_n\) auf \(O\setminus M\) gleichmäßig gegen \(0\) konvergiert.
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-12
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Hallo sonnenschein96,
danke für deine Antwort. Du hast natürlich Recht, das geteilt durch Wurzel(n) sollte da eigentlich nicht stehen...
Mir ist anschaulich klar, dass es kein solches messbares M mit Maß 0 gibt, aber könnte man das auch formal zeigen? Danke!
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-12
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Überlege Dir, dass für jedes \(n\in\mathbb{N}\) gilt, dass \((0,\frac{1}{n})\cap (O\setminus M)\neq\emptyset\), falls \(M\subseteq O\) messbar ist mit \(\lambda^1(M)=0\). Damit ist \(\sup_{x\in O\setminus M}|f_n(x)|=1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) und daher kann \((\sup_{x\in O\setminus M}|f_n(x)|)_{n\in\mathbb{N}}\) nicht gegen \(0\) gehen.
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-13
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Hallo sonnenschein96,
danke für deine Ausführung, jetzt ist mir alles klar!
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finn_2431 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
finn_2431 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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