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Funktionentheorie » Integration » Funktionentheorie, komplexe Analysis
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Universität/Hochschule Funktionentheorie, komplexe Analysis
student77
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Mitteilungen: 181
  Themenstart: 2021-12-15

Hallo Leute, gerade versuche ich folgende Aufgabe zu lösen, finde aber keine Ansatz. Sei \( f(z)= \int_{|\xi|=3} \frac{3 \xi^2 + 7 \xi +1}{\xi -z} d\xi \) Bestimme \( f'(1+i)\) Ich denke das es irgendwie mittels Cauchy Integralformel gelöst werden soll aber ich weiß nicht wie. Für Tipps wäre ich echt dankbar. Grüße student77

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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-15

Hallo, die Cauchysche Integralformel ist auf jeden Fall der richtige Ansatz. Was sagt diese denn aus? Kannst Du mit der Formel das Integral berechnen?

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student77
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-15

Hallo Nuramon, die Cauchysche Integralformel für die Ableitungen lautet \(f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \int \limits_{|\xi -z_0 |=r}^{} \frac{f(\xi)}{(\xi -z)^{n+1}} d \xi \) umgestellt \(f^{(n)}(z) \frac{2 \pi i} {n!} = \int \limits_{|\xi -z_0 |=r}^{} \frac{f(\xi)}{(\xi -z)^{n+1}} d \xi \) \(3 \xi^2 +7 \xi + 1 \) ist holomorph in \( \mathbb{C}\) mit \(n=0\) gilt (\(z_0\) liegt im Innengebiet von \(|z-z_0| = 3\)) somit \( f(z)= \int_{|\xi|=3} \frac{3 \xi^2 + 7 \xi +1}{\xi -z} d\xi \) = \( \frac{2 \pi i}{0!} f^{(0)} (z)\) = \( 2\pi i (3z^2 +7z +1)\) dann ist \(f'(z)\) =\( 2\pi i (6z+7) \) Soll ich nun für z einfach 1+i einsetzen? Danke Grüße student77

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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-15

Ja.

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