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 Basen im Dualraum |
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Euklid420
Junior 
Dabei seit: 11.11.2021
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2021-12-16
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Hallo liebe Matroids-Community,
ich probiere gerade die wöchentlichen Aufgaben zu lösen und bin jetzt auf eine Struktur gestoßen, die ich absolut nicht verstehe. Ich weiß einfach nicht, was ich mir darunter vorstellen kann/muss.
villeicht kann mir das von euch ja jemand erklären.
Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring über K. Als K-Vektorraum bilden die Monome M = (xn)n∈N0 ein (abzählbar unendliches) Erzeugendensystem von K[x]. Wir betrachten den Dualraum K[x]∗, der aus allen linearen Abbildungen K[x] → K besteht.
Wir definieren die zu M duale Familie M∗ = (fn) mit n∈ IN0 in K[x]∗ durch
fn( ∑ ai*x^i)=an
i∈N0
Komm hier leider nicht so gut mit der Eingabe zu recht. Alle Buchstaben die direkt auf einen anderen folgen sollen ein Index sein. Also bspw. f mit dem index n
Den ersten Abschnitt glaube ich verstanden zu haben, aber den zweiten leider garnicht.
Versteh nicht wie diese Abbildung aussehen müsste bzw. was sie überhaupt abbildet.
Kommt da für jedes beliebige Polynom einfach eine Zahl a raus die Abhängig von n ist und element des Körpers?
Aber in welchem zusammenhang kann ich daraus nicht erkennen oder?
Bin super ratlos, deswegen schonmal sorry falls die Fragen nicht mal wirklich Sinn ergeben.
Aber vielleicht hat ja trotzdem jemand eine Idee wie ich die Familie besser verstehen kann.
Liebe Grüße und schönen Abend
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3555
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-16
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Hallo,
ich schreib das nochmal mit Latex ab:
$f_n\left( \sum_{i\in\IN_0} a_i x^i\right) = a_n$.
Da kommt also nicht irgendeine Zahl raus, sondern der Koeffizient $a_n$.
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Euklid420
Junior
Dabei seit: 11.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-16
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Danke, genau das meinte ich.
Ok, also dass das der Koeefizient ist, hatte ich verstanden, aber ich weiß nicht, was mir das sagt. wähle ich den erstmal frei?
Also wenn ich zum beispiel das Polynom 5x^i einsetze, ist dann das ergebnis 5, weil der Index dann keinen Einfluss auf die 5 hat?
Dh würde ich 5*i*x^i einsetzen, würde ich 5*n erhalten?
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-16
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\quoteon(2021-12-16 17:49 - Euklid420 in Beitrag No. 2)
Danke, genau das meinte ich.
Ok, also dass das der Koeefizient ist, hatte ich verstanden, aber ich weiß nicht, was mir das sagt.
\quoteoff
Na der Koeffizient ist ja erstmal nicht völlig uninteressant, oder?
Sei $p = 4x^2 -2x + 3$. Dann ist $f_2(p) = 4$, $f_1(p) = -2$, $f_0(p) = 3$. Quizfrage: Was ist $f_3(p)$?
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| Euklid420 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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