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  Riemannsche Zetafunktion und Gammafunktion |
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sina1357
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
 |  Themenstart: 2021-12-28
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Hallo zusammen,
ich möchte folgende Gleichheit zeigen:
$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,\mathrm dx=\zeta(s)\cdot\Gamma(s) $$
Dafür habe ich bereits gezeigt, dass \[\sum_{n=1}^\infty x^{s-1}e^{-nx}=\dfrac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\] gilt.
Ich hänge an der Stelle, wo ich Summenzeichen und Integral vertauschen möchte. Dies ist erlaubt, wenn die Funktionenreihe gleichmäßig konvergiert. Eigentlich wollte ich das mit dem M-Test von Weierstrass zeigen, jedoch hänge ich bei der Abschätzung: \[|x^{s-1}e^{-nx}| \leq |x^{s-1}| \leq ??? \] für \(x \in (0,\infty)\).
Habt ihr Tipps für mich?
Danke für eure Hilfe!
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11638
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-28
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Hallo,
diese Abschätzung ist zu grob. Bedenke, daß s zwar beliebig aber fest ist. Das n im Exponenten von e darf man nicht weglassen, sondern man muß auf das starke kleinwerden der e-Funktion setzen, um das xs für große x wegzubekommen.
Du könntest etwas Gefühl für den Ausdruck bekommen, wenn Du zuerst x>=K für eine vorgegeben Konstante betrachtest und dann schaust, wie es für kleinere x ausschaut
Gruß Wauzi
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sina1357
Wenig Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-29
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Hallo Wauzi,
danke für deine Antwort.
Die einizge Abschätzung, die mir für \(e^{-nx}\) einfällt ist:
\[e^{-nx} \leq (nx+1)^{-1}\].
Somit erhalte ich
\[|x^{s-1}e^{-nx}| \leq |x^{s-1}(nx+1)^{-1}| = |x^{s-2}(n+1/x)^{-1}|\].
Leider habe ich keine Idee, wie ich \(x^{s-2}\) abschätzen kann...
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11638
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-29
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Hallo,
zuerst solltest Du angeben, welche Werte Du für s zuläßt.
Nicht für alle s ist Dein Auadruck glm konvergent
Wenn Du mit direkten Abschätzen nicht weiterkommst, könntest Du mit der Ableitung das Maximum Deines Ausdrucks ermitteln.
Noch etwas zur Abschätzung der e-Funktion:
exp(-z)=1/exp(z)=1/sum(z^k/k!,k=0,\inf )<=1/S wobei S eine beliebige Teilsumme
(endlich oder unendlich) der Exponentialreihe ist
Tip:
Gehe doch zur Definition der glm Konvergenz. Dort müßtest Du zeigen, daß der Rest der Reihe unabhängig von x beliebig klein wird.
Bestimme also R(x,N,s) mit
R(x,N,s)=sum(x^(s-1)/(exp(x))^n,k=N,\inf )
und berechne für Deine zugelassenen Werte das Maximum in Abhängigkeit von N.
Dies geht, da Du ja eine geometrische Reihe hast. Fällt etwas auf?
Alternativ setze mal x=1/N
Gruß Wauzi
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sina1357
Wenig Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-02
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Hallo Wauzi,
mir ist nun klar geworden, was du meinst.
Danke für deine Hilfe und deine Geduld!
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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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