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 Lokale Homöomorphie der Matrixexponentialfunktion |
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sulky
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 |  Themenstart: 2022-01-04
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_hom_.png
Hallo Zusammen,
Ich habe folgende Unklarheit zur korrekten interpretation dieses Satzes:
Durch die Verwendung des Symboles $\to$ und nicht etwa $\mapsto$ schliesse ich, dass in $X\to exp X$ das Symbal $X$ die Definitionsmenge bezeichnet und nicht ein Element dieser.
Wenn aber $X$ eine Menge ist, dann macht ja die Aussage keinen Sinn, weil dann kan X ja keine Eigenwerte haben.
Wenn aber umgekehrt $X$ ein Element der Definitionsmenge ist, dann kann $X$ zwar Eigenwert haben, aber von den Eigenwerten von X auf die Funktion zu schliessen macht ja auch keinen Sinn.
Wie ist dieser Satz zu verstehen?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-04
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Bitte gib den gesamten Kontext an (also den Satz/das Lemma, auf den sich das Korollar bezieht). Dann sollte klar sein, was $X$ sein soll. Sicherlich ist hier aber $\mapsto$ gemeint, und $X$ ist eine (spezielle) Matrix.
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sulky
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-05
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Hallo Triceratops,
Vielen Dank für deine Antwort.
Das Korollar stand in diesem Zusammenhang:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_col.png
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-10
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Das ist nicht der vollständige Zusammenhang. Der Zusammenhang sollte mindestens das Lemma beinhalten, worauf sich das Korollar bezieht (das hatte ich bereits geschrieben). Am besten aber nennst du das Buch, womit du arbeitest, sowie die Seitenzahl.
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sulky
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19
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Hallo Triceratops,
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich werde nächste Woche das Buch nennen können.
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sulky
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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Ich vermute, zu verstehen, was gemeint ist. Obwohl ich zugeben muss, dass ich zum genauen Verständnis des Beweises des Lemmas viel Zeit investieren müsste.
Aber die mathematische Formulierung des Korollars scheint mir unexakt.
Lokale Homöophorphie ist eine Eigenschaft, welche sich auf eine Funktion und deren Definitionsbereich bezieht.
Ein Definitionsbereich ist aber nicht angegeben.
Ich bin gerade überfordert
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_lem1.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_lem2.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_lem3.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_lema.png
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zippy
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-19
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\quoteon(2022-02-19 08:49 - sulky in Beitrag No. 5)
Lokale Homöophorphie ist eine Eigenschaft, welche sich auf eine Funktion und deren Definitionsbereich bezieht.
\quoteoff
Lokale Homöomorphie bezieht sich auf eine Funktion und einen Punkt aus ihrem Definitionsbereich. Beides ist in dem Korollar gegeben:
1. Es geht um die Funktion $\Phi\colon\mathbb R^{N^2}\to\mathbb R^{N^2}$, $\Phi(X)=\exp(X)$.
2. Die Aussage ist, dass diese Funktion zumindest in all den Punkten $X\in\mathbb R^{N^2}$ lokal homöomorph ist, wo $X$ keine zwei Eigenwerte $\lambda$ und $\mu$ mit $\lambda\ne\mu$ und $\lambda-\mu=2\pi ik$ mit $k\in\mathbb Z$ hat.
Die Einschränkung "zumindest" kommt ins Spiel, weil der Satz, auf den sich das Korollar bezieht, nur eine Aussage zur Invertierbarkeit der Ableitung macht, und das lediglich eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für lokale Homöomorphie ist.
Ein einfaches Beispiel, wo die Ableitung von $\Phi$ singulär wird und $\Phi$ tatsächlich nicht lokal homöomorph ist, liefern die Matrizen $X=\operatorname{diag}(0,2\pi ik)$ mit $k\in\mathbb Z$. Für $k=0$ ist $\Phi$ in $X=0$ lokal homöomorph, da dort die Ableitung wegen $\exp(X+H)=1+H+\frac12H^2+\cdots$ die Identität ist. Für $k\ne0$ kann man an$$
\exp\left[\operatorname{diag}(0,p)+
\begin{pmatrix}0&h\\0&0\end{pmatrix}\right] =
\begin{pmatrix}1&h\,{e^p-1\over p}\\0&e^p\end{pmatrix}
$$ablesen, dass $\Phi$ in $X$ nicht lokal homöomorph ist.
--zippy
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sulky
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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Hallo Zippy,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich muss nun das ganze Kapitel neu lesen, weil ich mich in einem Irrtum befand.Hat auch damit zu tun, dass englische Texte für mich ungewohnt sind.
Es geht um zwei Formulierungen, welche man sauber auseinanderhalten muss:
Sei $K\subset \mathbb{R}^{n\times n}$
1. Aussage: $\Phi$ ist lokal homöomorph auf K, wenn kein $X\in K$ existiert, welches 2 Eigenwerte hat, welche sich um $2\pi i k$ unterscheiden.
2. Aussage: $\Phi$ ist lokal homöomorph auf $K\backslash U$, wobei $U:\{M\in \mathbb{R}^{n\times n}|\text{M hat zwei EW welche sich um } 2\pi i k \text{ unterscheiden.}\}$
Und das Korollar mach die erste AUssage und nicht die zweite.
Stimmt das so?
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zippy
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-02-19
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Lokale Homöomorphie ist, wie der Name schon sagt, eine lokale Eigenschaft. Warum willst du statt der einfachen Aussage "lokal homöomorph in $X$" die kompliziertere "lokal homöomorph in allen $X\in K$" betrachten?
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sulky
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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Aufgrund der Definition von Wikipedia. Diese verlangt, dass für "jeden" Punkt $a$ des Definitionsbereiches die Bedingung erfüllt ist.
Daraus habe ich geschlossen, dass wenn ein Punkt existiert, wo die Bedinung nicht erfüllt ist, dass dan die Funktion nicht lokal homöomorph ist.
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