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  Basen von Kern und Bild bestimmen |
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Euklid420
Junior 
Dabei seit: 11.11.2021
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2022-01-05
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Guten Morgen liebe Matroids-Community,
ich brauche mal wieder Rat bei einer Aufgabe:
Ich habe die formelle Ableitungsfunktion mit d/dx:K[x]-> K[x] gegeben.
Die Aufgabe ist es jeweils für K=Q (Menge der rationalen Zahlen)und K=Z/2Z eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes von d/dx zu bestimmen.
Meine Überlegung war es, dass die Ableitungsfunktion ja nur für Polynome der Form a*x^0 auf Null abbildet. Somit sollte der Kern aus der Menge der rationalen Zahlen bzw. 0 und 1 bestehen.
Stimmt diese Überlegung?
Allerdings komme ich ab hier dann auch nicht wirklich weiter.
Wäre dann eine Basis der Kerne einfach {1}? dadurch sollte sich ja jedes Element des Kerns darstellen lassen oder nicht?
Wie ich die Basis des Bildes bestimmen soll, habe ich leider überhaupt keine Idee. Hat da jemand einen Tipp?
Schon mal vielen Dank im Vorraus
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 Profil
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5019
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-05
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\quoteon(2022-01-05 12:07 - Euklid420 im Themenstart)
Stimmt diese Überlegung?
\quoteoff
Nur für $K=\mathbb Q$. Betrachte für $K=\mathbb Z/2\mathbb Z$ etwa ${\mathrm d\over\mathrm dx}x^2=0$.
--zippy
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Euklid420
Junior
Dabei seit: 11.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-05
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Ah, ja natürlich. Das ergibt Sinn.
Dann würde ich mich aber erstmal auf K=Q konzentrieren.
Wäre es dafür richtig, dass eine Basis des Kerns {(1)} ist?
Als Basis des Bilds hätte ich {(i/x)}
(i ist der Grad des Polynoms, wenn man die Funktion mit der Summenform aufschreibt)
Bin mir jedoch sehr unsicher, ob das so stimmt.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5019
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-05
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\quoteon(2022-01-05 12:21 - Euklid420 in Beitrag No. 2)
Als Basis des Bilds hätte ich {(i/x)}
\quoteoff
Da $1/x$ kein Polynom ist, ergibt das keinen rechten Sinn.
Welche Polynome liegen denn, für $K=\mathbb Q$, nicht im Bild?
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Euklid420
Junior
Dabei seit: 11.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-06
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Das Polynom a*(x)^n dürfte nicht im Bild liegen, da ja bei der Ableitung der Grad immer um eins abnimmt. Somit wäre das Polynom mit dem höchsten Grad n*a*x^(n-1).
Dementsprechend fehlen im Bild natürlich auch alle Kombintaionen des Polynoms mit weiteren Polynomen im Bild.
Wäre somit {(1/i),(x)} eine Basis des Bilds?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5019
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-06
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\quoteon(2022-01-06 14:46 - Euklid420 in Beitrag No. 4)
Das Polynom a*(x)^n dürfte nicht im Bild liegen, da ja bei der Ableitung der Grad immer um eins abnimmt. Somit wäre das Polynom mit dem höchsten Grad n*a*x^(n-1).
\quoteoff
In deinem Startbeitrag sprichst du von einer Abbildung $K[x]\to K[x]$. Wo kommt jetzt das $n$ her?
\quoteon(2022-01-06 14:46 - Euklid420 in Beitrag No. 4)
Wäre somit {(1/i),(x)} eine Basis des Bilds?
\quoteoff
Unabhängig von meiner ersten Frage verstehe ich diese Schreibweise nicht. Hingeschrieben hast du eine Menge aus zwei Elementen, $1/i$ und $x$. Aber du meinst doch vermutlich nicht, dass die Basis nur zwei Elemente umfassen soll. Und was soll $i$ sein?
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