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 Matrizen M,A,B,C,N mit N = M A^a B^b C^c . Kann man die Exponenten bestimmen (wenn ABC kommutativ) |
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Yor
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 |  Themenstart: 2022-01-10
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Gegeben die Matrizen $M,A,B,C,D,N$
Es ist bekannt dass man $N$ aus $M$ berechnen kann mit:
$$M A^a B^b C^c = N$$
(idR mit $N\not=M$)
Die Exponenten $a,b,c$ sind jedoch unbekannt.
Kann man diese (immer) berechnen? Wie?
Oder wann kann man sie (nicht) berechnen?
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Die Matrizen $A,B,C$ seien dabei (so etwas wie) kommutativ:
$$(((M A) B) C) = (((M B) C) A) = (((M C) A) B) = $$
$$(((M A) C) B) = (((M B) A) C) = (((M C) B) A) = N_{ABC}$$
ebenso mit mit nur zwei Faktoren:
$$((M A) B) = ((M B)A) = N_{AB}$$
$$((M A) C) = ((M C)A) = N_{AC}$$
$$((M B) C) = ((M B)C) = N_{BC}$$
Diese Ergebnisse $N$ sollen dann die selben Eigenschaften wie $M$ haben, sie können also als neues $M$ (für gleiche $A,B,C$) verwendet werden. Dies gilt ebenso wenn nur einer dieser Faktoren verwendet wird:
$$M A = N_A$$
$$M B = N_B$$
$$M C = N_C$$
Haben solche Matrizen einen speziellen Namen?
Beispiel: Für ein $M$
$$M=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}$$
Ein $A,B,C$:
$$A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\
1&0&0&0&1 \end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\
0&1&0&0&1 \end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\
0&0&1&0&1 \end{pmatrix}$$
Ein $N$ könnte dann z.B.:
$$N=\begin{pmatrix} 3&3&4&0&1 \\ 2&4&4&0&1 \\ 2&3&5&0&1 \\ 2&3&4&1&1 \\
2&3&4&0&1 \end{pmatrix}$$
Für dieses Beispiel wäre die Bestimmung von $a,b,c$ jedoch sehr einfach ($a=2,b=3,c=4$ also so etwas wie $M A A B B B C C C C = M C B B A C C B C A = ...= M A^2 B^3 C^4 = N$).
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Gesucht sind $M,A,B,C$ für welche dies möglichst schwierig ist (mit einem Computer), jedoch für ein gegebenes $N$ eindeutig, also nur eine Lösung für $a,b,c$.
Oder ist es gerade immer einfach wenn $A,B,C$ diese Eigenschaft haben?
Oder ist es generell immer einfach, da es ähnlich wie bei nur einen Faktor so etwas wie die Jordansche Normalform gibt?
(Falls einfach, kann man es mit ein paar tweaks noch schwerer machen?)
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