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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Matrix nilpotent genau dann, wenn...
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Universität/Hochschule Matrix nilpotent genau dann, wenn...
martoNavic
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  Themenstart: 2022-01-10

Hey, es geht um folgende Aussage, die ich zeigen will: \(A\in K^{n,n}\) ist genau dann nilpotent, wenn \((I_n-A)^{-1}=\sum_{j=0}^{n-1} A^j\) Ich muss ehrlich gestehen, dass ich schon die Aussage nicht so wirklich verstehe, also vorallem die Summe bereitet mir Probleme. Danke schon mal für jede Hilfe LG Marton


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, zwei Tipps: - Versuche mit dem Minimalpolynom von $A$ zu argumentieren. - geometrische Reihe Und die Gleichung sollte eigentlich $I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j$ lauten, sonst ergibt das keinen Sinn, wenn $I_n-A$ nicht invertierbar ist. \(\endgroup\)


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martoNavic
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-10

Hey Nuramon, Danke erstmal für deine Antwort. Also ich hab mal begonnen mir über der Rückrichtung Gedanken zu machen. Also sei \(A\) nilpotent, dann soll: $$I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-A\sum_{j=0}^{n-1}A^j$$ gelten. Nilpotent heißt ja, dass es ein \(k\) gibt, sodass \(A^k=0\) gilt, aber so kann ich ja keine Aussage über die Summe treffen oder? Leider komme ich so jetzt hier irgendwei nicht weiter


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Deine Umformung ist richtig, aber Du kannst noch weiter vereinfachen. Schreib Dir das z.B. einfach mal für $n=3$ auf um zu sehen, wie.\(\endgroup\)


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martoNavic
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11

Ah verstehe: $$I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-A\sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-\sum_{j=1}^{n}A^j=A^0-A^n=I_n-A^n\Longleftrightarrow 0=A^n \Longleftrightarrow A \text{ ist nilpotent}$$ So in etwa?


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-11

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Wenn Dir die nicht ganz offensichtliche Äquivalenz $A^n=0 \iff A \text{ nilpotent}$ klar ist, dann passt das so.\(\endgroup\)


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martoNavic
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11

Ah mir ist gerade aufgefallen, dass die Rückrichtung dieser Äquivalenz ja gar nicht so klar ist. Hm da fällt mir gerade aber nicht ein, warum bei einer nilpotenten Matrix \(A^n=0\) sein muss. Da muss ich mir noch Gedanken machen


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martoNavic
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11

Also für \(kn\) ist mir noch ein Rätsel


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Nuramon
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-11

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Falls Du nicht mehr weiterkommst: Angenommen $A$ ist nilpotent. Es gibt mehrere Ansätze zu zeigen, dass dann $A^n=0$ gilt. Ansatz 1: \showon Was kannst Du über die Unterräume $\ker A^0, \ker A^1, \ker A^2, \ldots$ aussagen? \showoff Ansatz 2: \showon Was kannst Du über die Unterräume $\im A^0, \im A^1, \im A^2, \ldots$ aussagen? \showoff Ansatz 3: \showon Was kannst Du über das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von $A$ aussagen? \showoff \(\endgroup\)


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