| Autor |
 Matrix nilpotent genau dann, wenn... |
|
martoNavic
Junior 
Dabei seit: 03.01.2022
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2022-01-10
|
Hey,
es geht um folgende Aussage, die ich zeigen will:
\(A\in K^{n,n}\) ist genau dann nilpotent, wenn \((I_n-A)^{-1}=\sum_{j=0}^{n-1} A^j\)
Ich muss ehrlich gestehen, dass ich schon die Aussage nicht so wirklich verstehe, also vorallem die Summe bereitet mir Probleme.
Danke schon mal für jede Hilfe
LG Marton
|
 Profil
|
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3543
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-10
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
zwei Tipps:
- Versuche mit dem Minimalpolynom von $A$ zu argumentieren.
- geometrische Reihe
Und die Gleichung sollte eigentlich $I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j$ lauten, sonst ergibt das keinen Sinn, wenn $I_n-A$ nicht invertierbar ist.
\(\endgroup\)
|
Profil
|
martoNavic
Junior
Dabei seit: 03.01.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-10
|
Hey Nuramon,
Danke erstmal für deine Antwort. Also ich hab mal begonnen mir über der Rückrichtung Gedanken zu machen. Also sei \(A\) nilpotent, dann soll:
$$I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-A\sum_{j=0}^{n-1}A^j$$
gelten.
Nilpotent heißt ja, dass es ein \(k\) gibt, sodass \(A^k=0\) gilt, aber so kann ich ja keine Aussage über die Summe treffen oder? Leider komme ich so jetzt hier irgendwei nicht weiter
|
Profil
|
Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3543
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-10
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Deine Umformung ist richtig, aber Du kannst noch weiter vereinfachen. Schreib Dir das z.B. einfach mal für $n=3$ auf um zu sehen, wie.\(\endgroup\)
|
Profil
|
martoNavic
Junior
Dabei seit: 03.01.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11
|
Ah verstehe:
$$I_n = (I_n -A) \sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-A\sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j=\sum_{j=0}^{n-1}A^j-\sum_{j=1}^{n}A^j=A^0-A^n=I_n-A^n\Longleftrightarrow 0=A^n \Longleftrightarrow A \text{ ist nilpotent}$$
So in etwa?
|
Profil
|
Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3543
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-11
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Wenn Dir die nicht ganz offensichtliche Äquivalenz $A^n=0 \iff A \text{ nilpotent}$ klar ist, dann passt das so.\(\endgroup\)
|
Profil
|
martoNavic
Junior
Dabei seit: 03.01.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11
|
Ah mir ist gerade aufgefallen, dass die Rückrichtung dieser Äquivalenz ja gar nicht so klar ist.
Hm da fällt mir gerade aber nicht ein, warum bei einer nilpotenten Matrix \(A^n=0\) sein muss. Da muss ich mir noch Gedanken machen
|
Profil
|
martoNavic
Junior 
Dabei seit: 03.01.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-11
|
Also für \(kn\) ist mir noch ein Rätsel
|
Profil
|
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3543
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-11
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Falls Du nicht mehr weiterkommst:
Angenommen $A$ ist nilpotent. Es gibt mehrere Ansätze zu zeigen, dass dann $A^n=0$ gilt.
Ansatz 1:
\showon
Was kannst Du über die Unterräume $\ker A^0, \ker A^1, \ker A^2, \ldots$ aussagen?
\showoff
Ansatz 2:
\showon
Was kannst Du über die Unterräume $\im A^0, \im A^1, \im A^2, \ldots$ aussagen?
\showoff
Ansatz 3:
\showon
Was kannst Du über das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von $A$ aussagen?
\showoff
\(\endgroup\)
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
