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| Autor |
 Quadratisches Gleichungssystem mit 3 Variablen |
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Quantex
Neu 
Dabei seit: 10.01.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-01-10
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Gesucht sind alle reellen Zahlentripel, die das gegebene Gleichungssystem lösen.
x^2 + 2yz = x
y^2 + 2zx = y
z^2 + 2xy = z
Bisher habe ich (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) sowie (0,0,1) gefunden.
Jedoch denke ich, dass es noch mehr Lösungen gibt, kann mir bitte jemand helfen?
Danke im Vorraus
Quantex
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11132
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-10
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Zunächst einmal eine Frage: warum hast du das hier im Olympiade-Forum gepostet? Falls es eine Wettbewerbsaufgabe ist, dann musst du schon ganz genau dazusagen, um welchen Wettbewerb es geht und von wann die Aufgabe ist.
Gruß, Diophant
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robertoprophet
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-02-04
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Die Quelle würde mich auch interessieren.
Mit deiner Vermutung liegst du übrigens richtig: Es gibt noch vier weitere Lösungen. Versuch z.B. mal zwei Gleichungen "voneinander zu subtrahieren". Oder "addiere mal alle drei Gleichungen" und substituiere die Summe der drei Variablen.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2665
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-04
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Hallo Quantex und auch von mir: Willkommen!
Du könntest zunächst alle Zahlentripel bestimmen,
deren Komponenten gleich sind:
\(x\: :=\:y\: :=\:z\)
\(\Rightarrow\) \(x^2\:+\:2\cdot y\cdot z\:=\:x^2\:+\:2\cdot x\cdot x\:=\:x\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2\:+\:2\cdot x^2\:=\:3\cdot x^2\:=\:x\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\cdot x^2\:-\:x\:=\:0\)
"Mitternachtsformel" (quadratische Lösungsformel):
\(\Rightarrow\) \(x_1\:=\:0\) \(\lor\) \(x_2\:=\:\frac{1}{3}\)
So wäre mit \((\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})\) schon mal eine fünfte Lösung gefunden.
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Ixx
Aktiv 
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-02
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Moin,
Den Threadersteller war wohl nur eine vollständige Lösung interessiert. Mittlerweile ist aber sicherlich genügend Zeit vergangen, sodass der damalige Wettbewerb abgeschlossen ist, und man offen über die Lösung diskutieren kann.
Dass das eine typische Wettbewerbsaufgabe ist, sieht man daran, dass die Addition der drei Gleichungen direkt auf (x+y+z)^2=x+y+z, also x+y+z=0 oder x+y+z=1 führt. Andererseits führt die Differenz von z.B. erster und zweiter Gleichung auf (x-y)*(x+y-2z-1)=0, analog für die jeweils anderen Paare von Gleichungen. Sind alle drei Variablen gleich, so folgt also entweder x=y=z=0 oder x=y=z=1/3. Sind alle drei Variablen paarweise verschieden, dann gilt x+y-2z=1, y+z-2x=1 und z+x-2y=1, also nach Addition dieser drei Gleichungen 0=3, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Also müssen zwei der Variablen gleich sein. Es gelte also o.B.d.A. x verschieden von y=z. Dann ist x-y=1 und entweder x+2y=0 oder x+2y=1. Im ersten Fall ist x=2/3, y=z=-1/3, im zweiten x=1, y=z=0.
Zusammengefasst, erhalten wir also folgende Lösungstripel: (0,0,0), (1/3,1/3,1/3), (2/3,-1/3,-1/3) und (1,0,0) sowie sämtliche Permutationen davon. Die Proben bestätigen, dass dies auch jeweils Lösungen sind.
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