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 Simplex: Zweiphasen nötig? Quotient mit Null |
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Ritter
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 |  Themenstart: 2022-01-11
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Hallo
Ich habe zwei Fragen zum Simplexverfahren:
a) Wenn man eine "größergleich"-Nebenbedingung mit positiver rechter Seite hat, nimmt man dann automatisch das Zweiphasenverfahren?
b) Um die Pivotzeile zu ermitteln nimmt man ja die Zeile, in der der Quotient ab kleinsten ist. Dabei ignoriert man die Quotienten, bei denen man durch etwas negatives oder durch 0 teilen müsste. --> Wie ist das, wenn man aber im Zähler die Null hat. Dann hat man hier ja automatisch den kleinsten Quotienten.
Meine Antworten wären a) ja und b) 0 im Zähler wird berücksichtigt (sofern der Nenner positiv ist).
Bei a hat mich verwirrt, dass in der mir bekannten Einführung zum Zweiphasenmodell in einem konkreten Beispiel mit drei Nebenbedingungen im Starttableau nur ein Einheitsvektor war (da zwei der Nebenbedingung "größergleich" waren) und dies als Begründung für das Zweiphasenmodell angegeben wurde.
Ein konkretes Beispiel, bei der mir die Fragen aufgefallen sind. Hier habe ich drei Nebenbedingungen, aber auch drei Einheitsvektoren. Das wäre also noch kein Widerspruch.
Allerdings habe ich eine künstliche Variable, so dass ich trotzdem die Zweiphasenmethode anwenden würde.
Zu maximieren ist die Funktion Z(a,b,c) = 50a + 70b + 75c unter folgenden Nebenbedingungen:
5a+7b+8c <= 2400
8a+7b+10c <= 3000
c >= 50
a,b,c >= 0
In Gleichungen umgeformt:
5a+7b+8c + y_1 = 2400
8a+7b+10c + y_2 = 3000
c - y_3 + z = 50
mit y_1, y_2, y_3, z >= 0
$
Erste Phase (z entfernen)\\
\begin{tabular}{c|ccccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & z & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & & -III \\
& 0 & 0 & -1& 0 & 0 & 1 & 0 & -50 & & + III\\
\hline
I & 5 & 7 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2400 & 2400:8=300 & -8 III\\
II & 8 & 7 & 10 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3000 & 3000:10=300 & +10 III\\
III & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1& 1 & 50 & 50:1=50 & bleibt\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|ccccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & z & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & & \\
\hline
I & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 & 8 & -8 & 2000 & & \\
II & 8 & 7 & 0 & 0 & 1 & 10 & -10 & 2500 & & \\
III & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1& 1 & 50 & & \\
\end{tabular}
Zweite Phase, c, y1 und y2 müssen zu Beginn entfernt werden (also nur noch c)\\
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & b & Quotient & Rechnung\\
& -50 & -70 & -75 & 0 & 0 & 0 & 0 & & +75 III\\
& -50 &0 -70 & 0 & 0 & 0 & -75 & 3750 && +7,5 II\\
\hline
I & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 & 8 & 2000 & 2000:8=250 & -0,8 II \\
II & 8 & 7 & 0 & 0 & 1 & 10 & 2500 & 2500:10=250 & :10 \\
III & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 50 & 50:(-1) egal & +0,1 II \\
\end{tabular}
Man hätte auch Zeile I als Pivotzeile nehmen können.
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & b & Quotient & Rechnung\\
& 10 & -17,5 & 0 & 0 & 7,5 & 0 & 22500 & & +12,5 I\\
\hline
I & -1,4 & 1,4 & 0 & 1 & -0,8 & 0 & 0 & 0:1,4=0 & :1,4 \\
II & 0,8 & 0,7 & 0 & 0 & 0,1 & 1 & 250 & 250:0,7=357 & -0,5 I \\
III & 0,8 & 0,7 & 1 & 0 & 0,1 & 0 & 300 & 300:0,7=43 & -0,5 I \\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & b & Quotient & Rechnung\\
& -7,5 & 0 & 0 & 12,5 & -2,5 & 0 & 22500 & & +5 II\\
\hline
I & -1 & 1 & 0 & 5/7 & -4/7 & 0 & 0 & 0:(-1) egal & +2/3 II \\
II & 3/2 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1 & 250 & 250:3/2=167 & :1,5 \\
III & 3/2 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2 & 0 & 300 & 300:3/2=200 & -II \\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& a & b & c & y1 & y2 & y3 & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 & 23750 & & \\
\hline
I & 0 & 1 & 0 & 8/21 & -5/21 & 2/3 & 500/3 & & \\
II & 1 & 0 & 0 & -1/3 & 1/3 & 2/3 & 500/3 & & \\
III & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 50 & & \\
\end{tabular}
Die optimale Lösung ist also a=b=500/3 und c=50, maximaler Funktoinswert 23750.
$
Was mich auch etwas irritiert hat war, dass der Funktionswert im vorletzten Schritt konstant geblieben ist. Was im Prinzip auch logisch ist, da in beiden Fällen a=b=0 und c =50 galt.
Gruß
Ritter
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Goswin
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-13
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\quoteon(2022-01-11 15:11 - Ritter im Themenstart)
a) Wenn man eine "größergleich"-Nebenbedingung mit positiver rechter Seite hat, nimmt man dann automatisch das Zweiphasenverfahren?
\quoteoff
Du meinst vermutlich das primale Simplexverfahren bei: "...ausschließlich nichtnegativen rechten Seiten..."
Und die Antwort auf die Frage hängt dann wohl davon ab, wer "man" ist. Ich würde es nicht tun, denn es ist völlig überflüssig. (Wenn nur einige der rechten Seiten nichtnegativ sind, dann brauchst du natürlich eine erste Phase)
\quoteon(2022-01-11 15:11 - Ritter im Themenstart)
b) Um die Pivotzeile zu ermitteln nimmt man ja die Zeile, in der der Quotient ab kleinsten ist. Dabei ignoriert man die Quotienten, bei denen man durch etwas negatives oder durch 0 teilen müsste. --> Wie ist das, wenn man aber im Zähler die Null hat. Dann hat man hier ja automatisch den kleinsten Quotienten.
\quoteoff
Wenn der konstante Wert Null ist, dann ist dieser nichtnegativ und die entsprechende Zeile kommt entsprechend den Pivotierregeln als Pivotzeile überhaupt nicht in Betracht. (gilt für Phase 1 mit dualem Simplexverfahren)
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Ritter
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14
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Hallo Goswin,
\quoteon(2022-01-13 01:25 - Goswin in Beitrag No. 1)
Du meinst vermutlich das primale Simplexverfahren bei: "...ausschließlich nichtnegativen rechten Seiten..."
Und die Antwort auf die Frage hängt dann wohl davon ab, wer "man" ist. Ich würde es nicht tun, denn es ist völlig überflüssig. (Wenn nur einige der rechten Seiten nichtnegativ sind, dann brauchst du natürlich eine erste Phase)
\quoteoff
Deine letzte Formulierung meinte ich.
Wenn man nämlich nur solche Nebenbedingungen
I: 4x_1 + 3x_2 >= 50
II: 5x_1 + 7x_2 >= 52
hätte,
dann wäre die zulässige Menge ja nach oben unbeschränkt und es gibt gar keine optimale Lösung
\quoteon(2022-01-13 01:25 - Goswin in Beitrag No. 1)
Wenn der Zähler Null ist, dann ist die rechte Seite nichtnegativ und die entsprechende Zeile kommt entsprechend den Pivotierregeln als Pivotzeile überhaupt nicht in Betracht.
\quoteoff
Oh. Bei mir steht, dass ich die Zeile mit dem Minimum von (b_m)/(a_(mn)) mit a_(mn) > 0 wählen soll. Von b_m > 0 steht dort nichts.
Allerdings kommt mir deine Variante auch merkwürdig vor bzw. widerspricht völlig meinen Erfahrungen. Wenn ich alle nichtnegativen rechten Seiten ausschließe, dann hat man ja in den Standardaufgaben gar keine Zeile mehr zur Auswahl??
Ein einfacheres Beispiel:
$
\text{Maximiere } 5x_1 + 2x_2 \text{ unter}\\
I: 5x_1 + 10x_2 \leq 60\\
II: 4x_1 + 2x_2 \leq 15\\
x_1, x_2 \geq 0\\
\begin{tabular}{c|cccc|c|cr|r}
& x_1 & x_2 & y1 & y2 & b & Quotient & Rechnung\\
ZF & -5 & -2 & 0 & 0 & 0 & & +1,25 II\\
\hline
I & 5 & 10 & 1 & 0 & 60 & 12 & -1,25 II\\
II & 4 & 2 & 0 & 1 & 15 & 3,75 & :4\\
\end{tabular}\\
\text{Die Pivotspalte ist bei } x_1. \text{ Da aber alle rechten Seiten nichtnegativ sind, gibt es keine Pivotzeile. ???}\\
\text{Nach meinem Wissen muss man die zweite Zeile nehmen.}\\
\begin{tabular}{c|cccc|c|c|r|r}
& x_1 & x_2 & y1 & y2 & b & Quotient & Rechnung\\
ZF & 0 & 0,5 & 0 & 1,25 & 18,75 & &\\
\hline
I & 0 & 7,5 & 1 & -1,25 & 41,25 & 12 &\\
II & 1 & 0,5 & 0 & 0,25 & 3,75 & 3,75 &\\
\end{tabular}\\
Die optimle Lösung ist also x_1 = 3,75 \text{ und } x_2 = 0
$
Vermutlich habe ich einen Denkfehler?
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Goswin
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-15
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\quoteon(2022-01-14 17:21 - Ritter in Beitrag No. 2)
Ein einfacheres Beispiel:
$
\text{Maximiere } 5x_1 + 2x_2 \text{ unter}\\
I: 5x_1 + 10x_2 \leq 60\\
II: 4x_1 + 2x_2 \leq 15\\
x_1, x_2 \geq 0\\
\begin{tabular}{c|cccc|c|cr|r}
& x_1 & x_2 & y1 & y2 & b & Quotient & Rechnung\\
ZF & -5 & -2 & 0 & 0 & 0 & & +1,25 II\\
\hline
I & 5 & 10 & 1 & 0 & 60 & 12 & -1,25 II\\
II & 4 & 2 & 0 & 1 & 15 & 3,75 & :4\\
\end{tabular}\\
\text{Die Pivotspalte ist bei } x_1.\\
\text{Nach meinem Wissen muss man die zweite Zeile nehmen.}\\
\begin{tabular}{c|cccc|c|c|r|r}
& x_1 & x_2 & y1 & y2 & b & Quotient & Rechnung\\
ZF & 0 & 0,5 & 0 & 1,25 & 18,75 & &\\
\hline
I & 0 & 7,5 & 1 & -1,25 & 41,25 & 12 &\\
II & 1 & 0,5 & 0 & 0,25 & 3,75 & 3,75 &\\
\end{tabular}\\
Die optimle Lösung ist also x_1 = 3,75 \text{ und } x_2 = 0
$
Vermutlich habe ich einen Denkfehler?
\quoteoff
Was du sagst ist alles richtig. Meine obige Aussage gilt nur für die (von mir bevorzugte) Phase_1 mit dualem Simplexverfahren.
Wenn in Phase_2 einige der Zähler Null sind, dann ist eine dieser Zeilen natürlich die Pivotzeile. In so einem Fall ist freilich die Zielsetzung gefährdet 😉, weil das Simplexverfahren ohne zusätzliche Maßnahmen in einen unendlichen Kreislauf geraten kann.
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Ritter
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
|
Ok, danke!
Ja, ich kenne es so, dass es beim Erzeugen des Einheitsvektors in den beiden Phasen im Prinzip keinen Unterschied gibt, zumindest nicht in Hinblick auf die Quotienten.
Phase 1:
- Künstliche Variablen aus Hilfszielfunktionszeile (minimiere z, also maximiere -z) durch Zeilenoperationen entfernen
- Mit dieser neuen Hilfszielfunktion mit den gewohnten Regeln so lange das Simplexverfahren anwenden, bis alle künstlichen Variablen den Wert 0 haben (falls möglich).
Übergang:
- Man verwendet in dem erhaltenen Tableau nun die eigentliche Zielfunktion.
- Die momentanen Basisvariablen werden durch Zeilenoperationen aus der Zielfunktionszeile entfernt.
Phase 2:
- Normal mit gleicher Regel für die Pivotzeile wie in Phase 1.
\quoteon(2022-01-15 01:02 - Goswin in Beitrag No. 3)
Wenn in Phase_2 einige der Zähler Null sind, dann ist eine dieser Zeilen natürlich die Pivotzeile. In so einem Fall ist freilich die Zielsetzung gefährdet 😉, weil das Simplexverfahren ohne zusätzliche Maßnahmen in einen unendlichen Kreislauf geraten kann.
\quoteoff
Kennst du dafür ein (einfaches) Beispiel?
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Goswin
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-08
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\quoteon(2022-01-17 12:16 - Ritter in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-01-15 01:02 - Goswin in Beitrag No. 3)
Wenn in Phase_2 einige der Zähler Null sind, dann ist eine dieser Zeilen natürlich die Pivotzeile. In so einem Fall ist freilich die Zielsetzung gefährdet 😉, weil das Simplexverfahren ohne zusätzliche Maßnahmen in einen unendlichen Kreislauf geraten kann.
\quoteoff
Kennst du dafür ein (einfaches) Beispiel?
\quoteoff
\[
\begin{matrix}
z & = &(&~ ~0 &-~ 2x_1 &+~ 4x_2 &+~ 3x_3 &-~ 9x_4 &)~/~1
\\[2pt]
x_5 & = &(&~ ~0 &-~ 2x_1 &+~ 7x_2 &+~ 3x_3 &-~ 7x_4 &)~/~1
\\[2pt]
x_6 & = &(&~ ~0 &+~ 1x_1 &-~ 2x_2 &-~ 1x_3 &+~ 3x_4 &)~/~1
\\~
\end{matrix}
\\[4pt]
\max z, \qquad x_1\ge0,~ \ldots,~ x_6\ge0
\]
Wähle immer (1) die Spalte mit größtem positiven Betrag in der Zielfunktion und (2) die erstmögliche Zeile mit negativem Pivotelement.
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Ritter
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-20
|
Danke für die Erinnerung. 😃
Wie ich deine beiden Gleichungen mit x5 und x6 in die ursprünglichen kleiner-gleich-Bedingungen übersetze, ist mir allerdings noch nicht klar. Sind x5 und x6 deine Schlupfvariablen?
Oder sind das zwei Nebenbedingungen mit echter Gleichheit?
Da es sich auf ein Beispiel zu Phase 2 bezieht, müsste es ja irgendwo mit größer-gleich gewesen sein.
Hm. 🤔
$
Maximiere z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
unter\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 - 7x_4 <= 1\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 <= 1\\
In Normalform mit y_1 = x_5 und y_2 = x6\\
Maximiere z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
unter\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 - 7x_4 + y_1 = 1\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 + y_2 = 1\\
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 2 & -4 & -3& 9 & 0 & 0 & 0 & & + 2 II\\
\hline
I & 2 & -7 & -3 & -7 & 1 & 0 & 1 & ---& + 7/2 II \\
II & -1 & 2 & 1 & -3 & 0 & 1 & 1 & 1:2 = 0,5 & :2\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|crr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & -1& -3 & 0 & 2 & 2 & & \\
\hline
I & -1,5 & 0 & 0,5 & -17,5 & 1 & 3,5 & 4,5 & & \\
II & -0,5 & 1 & 0,5 & -1,5 & 0 & 0,5 & 1 & & \\
\end{tabular}
$
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Goswin
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-21
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\quoteon(2022-02-20 16:01 - Ritter in Beitrag No. 6)
Wie ich deine beiden Gleichungen mit x5 und x6 in die ursprünglichen kleiner-gleich-Bedingungen übersetze, ist mir allerdings noch nicht klar. Sind x5 und x6 deine Schlupfvariablen?
Oder sind das zwei Nebenbedingungen mit echter Gleichheit?
\quoteoff
Die Ungleichungen, die du aufstellst, sind falsch. Aus
\[
\begin{matrix}
0 & \le & x_5 & = &~ ~0 &-~ 2x_1 &+~ 7x_2 &+~ 3x_3 &-~ 7x_4
\\[2pt]
0 & \le & x_6 & = &~ ~0 &+~ 1x_1 &-~ 2x_2 &-~ 1x_3 &+~ 3x_4
\end{matrix}
\]
folgen ganz unmittelbar die Bedingungen:
\[
\begin{matrix}
+~ 2x_1 &-~ 7x_2 &-~ 3x_3 &+~ 7x_4 & \le & 0
\\[2pt]
-~ 1x_1 &+~ 2x_2 &+~ 1x_3 &-~ 3x_4 & \le & 0
\end{matrix}
\]
"Ursprüngliche Bedingungen" können irgendwelche lineare Bedingungen sein, nicht unbedingt "kleiner-gleich-Bedingungen". Die Schlupfvariablen hier sind \(x_5, x_6\). Wann eine Gleichheit "echt" sein soll und wann nicht, das verstehe ich nicht.
Herauszufinden ist bei der obigen Aufgabe, ob der maximale Zielwert \(0\) oder vielleicht \(\infty\) ist. Dass auf der "rechten Seite" der Ungleichungen lauter Nullen stehen, das ist ja gerade der Grund, weshalb der Algorithmus hier in einen Kreislauf gerät. Man kann leicht Beispiele aufstellen, die außer diesen Null-Ungleichungen noch weitere ohne Nullen enthalten, aber du wolltest ja ein einfaches Beispiel.
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Ritter
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-23
|
Ja, "echte Gleichheit" ist etwas doppelt gemoppelt und sollte den Unterschied zu kleiner-gleich bzw. größer-gleich betonen. [Da hab ich es wohl mit "echt kleiner" etwas durcheinander gebracht.]
Die Schreibweise mit x5, der 0 und der Division durch 1 kannte ich nicht, aber ich habe es jetzt noch mal mit der überarbeiteten Nebenbedingung gemacht:
$
Maximiere z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
\text{unter}\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 - 7x_4 \leq 0\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 \leq 0\\
\text{In Normalform mit }y_1 = x_5\text{ und }y_2 = x_6\\
\text{Maximiere }z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
\text{unter}\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 - 7x_4 + y_1 = 0\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 + y_2 = 0\\
\begin{tabular}{c|cccccc|c|lr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 2 & \boxed{\boxed{-4}} & -3& 9 & 0 & 0 & 0 & & + 2 II\\
\hline
I & 2 & -7 & -3 & -7 & 1 & 0 & 0 & durch Negativ & + 7/2 II \\
II & -1 & \boxed{2} & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0:2 = 0 & :2\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|c|lr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & -1& \boxed{\boxed{-3}} & 0 & 2 & 2 & & \\
\hline
I & -1,5 & 0 & 0,5 & -17,5 & 1 & 3,5 & 0 & durch Negativ & \\
II & -0,5 & 1 & 0,5 & -1,5 & 0 & 0,5 & 0 & durch Negativ & \\
\end{tabular}
$
Da in der Pivotspalte keine positiven Zahlen stehen, würde ich das Simplexverfahren hier abbrechen mit der Antwort, dass es keine optimale Lösung gibt. (Woraus z = unendlich folgen würde. Denn z = 0 ist ja einfach zu erreichen mit x1 = 0 usw.)
In einen Kreislauf würde ich aber mit dem mir bekannten Verfahren nicht laufen. 🤔
\quoteon(2022-02-21 20:21 - Goswin in einfaches Beispiel.
\quoteoff
Das zielte auf die Erstellung des Beispiels ab, nicht auf die Lösung.
Falls du also noch Nerv auf ein zweites Beispiel hast, immer gerne. Aber ich befürchte, dass es noch bei dem ersten Beispiel bei mir hakt. 😃
Gruß
Ritter
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Goswin
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-02-23
|
\quoteon(2022-02-23 08:14 - Ritter in Beitrag No. 8)
$
\text{Maximiere}\\
z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
\text{unter}\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 - 7x_4 \leq 0\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 \leq 0\\
$
In einen Kreislauf würde ich aber mit dem mir bekannten Verfahren nicht laufen.
\quoteoff
Du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben und so die Gleichungen in Schritt 1 falsch berechnet (betrachte die Vorzeichen von \(x_4\)).
Und wenn du die Gesamtaufgabe aufstellst, musst du immer mögliche Nichtnegativitäts-Ungleichungen \(x_1\ge0,\ldots,x_4\ge0\) mit hinschreiben; die sind genauso wichtig wie die anderen Ungleichungen und keineswegs selbstverständlich.
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Ritter
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-25
|
Stimmt, 9-6 sind natürlich +3. Also auf ein Neues mit geänderter erster Nebenbedingung (7x4 statt -7x4):
$
Maximiere z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
\text{unter}\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 + 7x_4 \leq 0\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 \leq 0\\
x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0\\
\text{In Normalform mit }y_1 = x_5\text{ und }y_2 = x_6\\
\text{Maximiere }z = -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 9x_4\\
\text{unter}\\
2x_1 - 7x_2 - 3x_3 + 7x_4 + y_1 = 0\\
-1x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 3x_4 + y_2 = 0\\
x_1, x_2, x_3, x_4, y_1, y_2 \geq 0\\
\begin{tabular}{c|cccccc|c|lr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 2 & \boxed{\boxed{-4}} & -3& 9 & 0 & 0 & 0 & & + 2 II\\
\hline
I & 2 & -7 & -3 & 7 & 1 & 0 & 0 & durch Negativ & + 7/2 II \\
II & -1 & \boxed{2} & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0:2 = 0 & :2\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|c|lr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& 0 & 0 & \boxed{\boxed{-1}}& 3 & 0 & 2 & 2 & & + 2 II \\
\hline
I & -1,5 & 0 & 0,5 & -17,5 & 1 & 3,5 & 0 & 0:0,5=0 & * 2 \\
II & -0,5 & 1 & 0,5 & -1,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0:0,5=0 & - I\\
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccccc|c|lr}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & y_1 & y_2 & b & Quotient & Rechnung\\
& -3 & 0 & 0& -32 & 2 & 9 & 2 & & \\
\hline
I & -3 & 0 & 1 & -35 & 2 & 7 & 0 & & \\
II & 1 & 1 & 0 & 16 & -1 & -3 & 0 & & \\
\end{tabular}
$
Den Rest muss ich aufs Wochenende verschieben. Aber es sieht so aus, dass nach x4 danach noch x1 eine Pivotspalte wird.
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Goswin
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Wohnort: Chile, Ulm
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-25
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Du hast die Gleichungen in Schritt 1 wieder falsch berechnet:
\(\Big(~(2)(7) - (-7)(-3)~\Big)\big/2 ~=~ -3.5\)
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