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Mathematik » Numerik & Optimierung » Warum verbessert Pivotisierung die Stabilität?
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Universität/Hochschule J Warum verbessert Pivotisierung die Stabilität?
fathrudinov
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Dabei seit: 28.03.2021
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  Themenstart: 2022-01-12

Hallo Matroids, ich will eine Behauptung beweisen: Durch Pivotisierung wird die Stabilität der LR-Zerlegung verbessert. In Literatur wird der Beweis als "offensichtlich" oder noch schlimmer als Übungsaufgabe bezeichnet. Im besten Fall wird ein Beispiel eingeführt, in dem die Pivotisierung im Endeffekt die Auslöschung in Einzelnfällen vermeidet. Dann die Autoren folgen daraus, dass die Behauptung im Allgemeinen gilt. Ich bin auf der Suche schon ziemlich lange Zeit und würde sehr auf die Hinweise freuen! P.S. Wikipedia verweist auf Golub/van Loan: Matrix Computations, Theorem 3.3.1, aber der Beweis ist zu verwirrend und chaotisch.

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Goswin
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-13

\quoteon(2022-01-12 11:01 - fathrudinov im Themenstart) Ich will eine Behauptung beweisen: Durch Pivotisierung wird die Stabilität der LR-Zerlegung verbessert. [...] Wikipedia verweist auf Golub/van Loan: Matrix Computations, Theorem 3.3.1, aber der Beweis ist zu verwirrend und chaotisch. \quoteoff Wenn der Beweis für dich zu "verwirrend und chaotisch" ist, dann suchst du vermutlich keinen Beweis, sondern eine intuitive Vorstellung: Die Pivotisierung sorgt dafür das der jeweils größte Betrag des abgewandelten Gleichungssystems nach $k$ Schritten um einen Faktor anwächst, der nicht größer als $2^k$ ist (und der Beweis davon ist einfach). Ohne Pivotisierung können bei beliebig kleinen Pivotelementen die Beträge der Einträge beliebig groß werden - und die Rundungsfehler sind bei Gleitkommarechnungen (im Schnitt) bekanntlich proportional zum Betrag der Zahlen.

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fathrudinov
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-13

Ja, du hast recht :( Danke für Hinweis!

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fathrudinov hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
fathrudinov hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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