Ich habe angenommen, die Gleichung sei unlösbar. Um das
nachzuweisen wollte ich einen Modul m bestimmen, sodaß die
Gleichung modulo m unlösbar ist, woraus dann sofort folgt, daß
sie auch in Z unlösbar ist.

Der Modul sollte eine Primzahl sein. Die Primzahl muß dann aber so
bestimmt werden, daß 13 ein Teiler von \phi(p) ist. Andernfalls wäre
nämlich Z_p = {z^13 ; z \in Z_p }, d.h. die Abbildung z -> z^13 wäre
eine Bijektion. Und in diesem Fall wäre es aber  sinnlos darauf
zu hoffen, daß x^13 + y^13 + z^13 = 2004^2008 (p) unlösbar ist.

Wenn p = 13n + 1, also \phi(p) = 13n, dann sieht die Sache ganz
anders aus. Dann sind die 13er-Potenzen in (Z_p)^+  eine Untergruppe
der Ordnung n und es gibt insgesamt, also mit der 0, nur n+1 
verschiedene 13er-Potenzen modulo p. Dann stellt sich durchaus die
Frage, ob 2004^2008(p) als Summe von 3 Summanden aus diesen n+1 Werten
dargestellt werden kann. 

Also habe ich die Folge 13*2+1, 13*4+ 1, 13*6+1... ins Auge gefaßt
um eine Primzahl zu finden für die die Gleichung unlösbar ist. 
Es hat dann gleich mit der ersten Primzahl in der Folge, nämlich
53=13*4+1, funktioniert.

Modulo 53 gilt:

2004^2008 = 49
Die 13er-Potenzen sind: 0, 1, 52, 30, 23

Und 49 kann nicht als Summe von dreien dieser 13er-Potenzen
dargestellt werden.

Alle ganzen Zahlen können in Restklassen modulo 53 eingeteilt werden.
Die Menge dieser Restklassen ist dann mit der Restklassenaddition und der Restklassenmultiplikation ein Körper, das ist für jede Primzahl so, und 53 ist__ Primzahl.
Dieser Körper F_53\. hat genau 53 Elemente, seine multiplikative Gruppe besteht aus 52 Elementen, die alle die Gleichung x^52=1 erfüllen.
Für jede Restklasse x ist daher die Restklasse y=x^13\. gleich 0 oder eine Lösung der Gleichung y^4=1.
Diese Gleichung, weil sie von viertem Grade ist, hat in einem Körper höchstens vier Lösungen, zwei davon sind [1] und [-1], die anderen sind [23] und [-23], denn
[23]^2=[529]=[53*10-1]=[-1].
Für alle ganzen Zahlen x, y, z ist dann [x^13+y^13+z^13\.] gleich
[0],[+-1],[+-2],[+-3],[+-21],[+-22],[+-23],[+-24],[+-25],
[+-45],[+-46],[+-47] oder schließlich [+-69]=[+-16].
Nun muß man nur noch [2004]^2008\. berechnen.
Es ist 2004=38*53-10 und 2008=38*52+32. Weil 2004 nicht durch 53 teilbar ist, gilt [2004]^52=[1]. Also ist
[2004]^2008=[-10]^32=[100]^16=[-6]^16=[36]^8
=[1296]^4=[24]^4=[576]^2=[-7]^2=[49].
Ich habe das überprüft, Mathematica liefert
Mod[43^32\,53]=49 und sogar Mod[2004^2008\,53]=49 augenblicklich__.
[49]=[-4] kommt unter den Restklassen, denen die Zahlen x^13+y^13+z^13\. angehören können, nicht vor, damit ist bewiesen, daß die Gleichung keine ganzzahligen Lösungstripel (x, y, z) besitzt.