|
Autor |
Problem 8 |
|
Eckard
Senior  Dabei seit: 14.10.2002 Mitteilungen: 6820
Herkunft: Magdeburg
 |
Notiz Profil
Quote
Link |
Nelson
Senior  Dabei seit: 18.12.2003 Mitteilungen: 979
Herkunft: Bayern
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2004-10-30
|
Hallo Eckard,
nachdem jetzt ja klar ist wie das geht, kann ich auch noch meinen
Senf dazugeben und erzählen, wie ich darauf gekommen bin, daß
die Gleichung unlösbar ist.
 
Ich habe angenommen, die Gleichung sei unlösbar. Um das nachzuweisen wollte ich einen Modul m bestimmen, sodaß die Gleichung modulo m unlösbar ist, woraus dann sofort folgt, daß sie auch in Z unlösbar ist. Der Modul sollte eine Primzahl sein. Die Primzahl muß dann aber so bestimmt werden, daß 13 ein Teiler von \phi(p) ist. Andernfalls wäre nämlich Z_p = {z^13 ; z \in Z_p }, d.h. die Abbildung z -> z^13 wäre eine Bijektion. Und in diesem Fall wäre es aber sinnlos darauf zu hoffen, daß x^13 + y^13 + z^13 = 2004^2008 (p) unlösbar ist. Wenn p = 13n + 1, also \phi(p) = 13n, dann sieht die Sache ganz anders aus. Dann sind die 13er-Potenzen in (Z_p)^+ eine Untergruppe der Ordnung n und es gibt insgesamt, also mit der 0, nur n+1 verschiedene 13er-Potenzen modulo p. Dann stellt sich durchaus die Frage, ob 2004^2008(p) als Summe von 3 Summanden aus diesen n+1 Werten dargestellt werden kann. Also habe ich die Folge 13*2+1, 13*4+ 1, 13*6+1... ins Auge gefaßt um eine Primzahl zu finden für die die Gleichung unlösbar ist. Es hat dann gleich mit der ersten Primzahl in der Folge, nämlich 53=13*4+1, funktioniert. Modulo 53 gilt: 2004^2008 = 49 Die 13er-Potenzen sind: 0, 1, 52, 30, 23 Und 49 kann nicht als Summe von dreien dieser 13er-Potenzen dargestellt werden.
Ciao
Nelson
[ Nachricht wurde editiert von Nelson am 30.10.2004 12:37:12 ]
[ Nachricht wurde editiert von Nelson am 02.11.2004 13:39:32 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
JohnDoe
Senior  Dabei seit: 19.07.2003 Mitteilungen: 2146
Herkunft: Tirol
 |     Beitrag No.2, eingetragen 2004-10-30
|
Hi,
* auch wieder gelöscht *
@Nelson: alles klar 
Gruß, Heinz
[ Nachricht wurde editiert von JohnDoe am 30.10.2004 13:53:26 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Eckard
Senior  Dabei seit: 14.10.2002 Mitteilungen: 6820
Herkunft: Magdeburg
 |     Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-10-30
|
@Nelson und JohnDoe: Das ist sehr fair von euch, dass ihr den anderen auch noch Chancen gebt. Hut ab! Ich kann versichern, dass hier schon völlig korrekte Lösungen standen.
Gruß Eckard
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Martin_Infinite
Senior  Dabei seit: 15.12.2002 Mitteilungen: 39133
Herkunft: Münster
 |     Beitrag No.4, eingetragen 2004-11-01
|
Hier hat auf dem Treffen die Fabi-Burische-Kooperation knallhart zugeschlagen
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Buri
Senior  Dabei seit: 02.08.2003 Mitteilungen: 46306
Herkunft: Dresden
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2004-11-02
|
Hi Eckard & Team,
@Martin
stimmt, deswegen nun Näheres.
@alle
naja, wir dachten, man müßte einen Modul finden, wo die Reste der 13-ten Potenzen möglichst spärlich sind.
Dann kam die Idee, die Eulersche Phi-Funktion müßte durch 13 teilbar sein.
Ich meinte, das geht nicht, die Phi-Funktion ergibt für n > 1 immer gerade Zahlen. Allerdings war dieser Einwand von mir falsch, was ich sehr schnell einsah.
Die Phi-Funktion kann schon durch 13 teilbar sein, man kann 53 als Modul nehmen, das habe ich dann vorgeschlagen. Mir war klar, daß es außer 0 nur noch vier weitere Reste geben kann, einer von ihnen ist natürlich 1.
Fabi hat ausgerechnet, daß die 13-ten Potenzen ganzer Zahlen nur kongruent 0, +-1 oder +-23 modulo 53 sein können, und daß 20042008 modulo 53 den Rest 40 ergibt.
1 / 4 (Dietmar) hat zusätzliche Kontrollrechnungen mit dem Modul 79 durchgeführt.
Somit sind schon mal drei Mitglieder des Teams davon überzeugt, daß die vorgelegte Gleichung kein Lösungstripel (x,y,z) besitzt.
Unsere Antwort sollte so lauten, den Beweis ausführlich nachzuliefern sollte kein Problem sein.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 02.11.2004 08:37:42 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Buri
Senior  Dabei seit: 02.08.2003 Mitteilungen: 46306
Herkunft: Dresden
 |     Beitrag No.6, eingetragen 2004-11-04
|
Hi Team,
der ausführliche Beweis könnte so aussehen:
 
Alle ganzen Zahlen können in Restklassen modulo 53 eingeteilt werden. Die Menge dieser Restklassen ist dann mit der Restklassenaddition und der Restklassenmultiplikation ein Körper, das ist für jede Primzahl so, und 53 ist__ Primzahl. Dieser Körper F_53\. hat genau 53 Elemente, seine multiplikative Gruppe besteht aus 52 Elementen, die alle die Gleichung x^52=1 erfüllen. Für jede Restklasse x ist daher die Restklasse y=x^13\. gleich 0 oder eine Lösung der Gleichung y^4=1. Diese Gleichung, weil sie von viertem Grade ist, hat in einem Körper höchstens vier Lösungen, zwei davon sind [1] und [-1], die anderen sind [23] und [-23], denn [23]^2=[529]=[53*10-1]=[-1]. Für alle ganzen Zahlen x, y, z ist dann [x^13+y^13+z^13\.] gleich [0],[+-1],[+-2],[+-3],[+-21],[+-22],[+-23],[+-24],[+-25], [+-45],[+-46],[+-47] oder schließlich [+-69]=[+-16]. Nun muß man nur noch [2004]^2008\. berechnen. Es ist 2004=38*53-10 und 2008=38*52+32. Weil 2004 nicht durch 53 teilbar ist, gilt [2004]^52=[1]. Also ist [2004]^2008=[-10]^32=[100]^16=[-6]^16=[36]^8 =[1296]^4=[24]^4=[576]^2=[-7]^2=[49]. Ich habe das überprüft, Mathematica liefert Mod[43^32\,53]=49 und sogar Mod[2004^2008\,53]=49 augenblicklich__. [49]=[-4] kommt unter den Restklassen, denen die Zahlen x^13+y^13+z^13\. angehören können, nicht vor, damit ist bewiesen, daß die Gleichung keine ganzzahligen Lösungstripel (x, y, z) besitzt.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 05.11.2004 10:42:49 ]
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Florian
Senior  Dabei seit: 25.10.2004 Mitteilungen: 893
Herkunft: Salzburg, Österreich
 |     Beitrag No.7, eingetragen 2004-11-04
|
Notiz Profil
Quote
Link |
shadowking
Senior  Dabei seit: 04.09.2003 Mitteilungen: 3473
 |     Beitrag No.8, eingetragen 2004-11-04
|
Hallo Buri,
das ist eine sehr schöne Lösung, wie ich finde.
Kann es sein, dass unter den Modulen [+-16] fehlt?
Wenn x13, y13 und z13 als Restklasse [+23] bzw. [-23]
besitzen, dann steht rechts der Rest [+69]=[+16]
bzw. [-69]=[-16].
Gruß shadowking
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Buri
Senior  Dabei seit: 02.08.2003 Mitteilungen: 46306
Herkunft: Dresden
 |     Beitrag No.9, eingetragen 2004-11-05
|
Hi Norbert,
danke, das habe ich übersehen, dreimal 23 ist auch möglich.
Gruß Buri
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Pebbe
Junior  Dabei seit: 17.07.2004 Mitteilungen: 11
Herkunft: Dresden
 |     Beitrag No.10, eingetragen 2004-11-06
|
Alles wunderbar, nur: Wie kommt man auf modulo 53?
Habt ihr alles durchprobiert?
Ich erinnere mich daran, dass man bei dritten Potenzen am besten modulo 9 verwendet, aber bei 13ten Potenzen...
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Martin_Infinite
Senior  Dabei seit: 15.12.2002 Mitteilungen: 39133
Herkunft: Münster
 |     Beitrag No.11, eingetragen 2004-11-06
|
Hi Pebbe,
53 ist die kleinste Primzahl, die =1 mod 13 ist.
Gruß
Martin
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Eckard
Senior  Dabei seit: 14.10.2002 Mitteilungen: 6820
Herkunft: Magdeburg
 |     Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Eckard
Senior  Dabei seit: 14.10.2002 Mitteilungen: 6820
Herkunft: Magdeburg
 |     Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07
|
War doch 'ne tolle Aufgabe, oder? Hab ich mir selbst ausgedacht in Anlehnung an einfachere Varianten. Super zuerst gelöst von Nelson. Und die Reste der ersten 53 dreizehnten Potenzen modulo 53 muss man erstmal ausrechnen (geht zwar theoretisch per Hand, aber GMP et al helfen doch schon gewaltig). Das einzige Problem des Aufgabenstellers war es, eine "schicke" rechte Seite zu finden. ;-)
Und, was bisher auch einmalig war: Nelsons und Heinz' nette Geste, ihre korrekten Lösungen vorübergehend zu löschen.
15 Punkte fürs Team!
Gruß Eckard
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|