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 Residuen |
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student77
Aktiv 
Dabei seit: 17.09.2014
Mitteilungen: 181
 |  Themenstart: 2022-01-14
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Hallo Leute,
Gerade versuche ich zu verstehen wie man diese Residuen ablesen kann wenn man sich die Reihe anguckt. Für \(z_0 = 1 \) habe ich es ausgerechnet und komme auch auf -1 aber wie kann ich das ablesen?
Und bei \( z_0 = 0\) verstehe ich nicht wieso das überhaupt eine Singularität ist.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/40836_residuen_Karpfinger.png
Danke
Grüße student77
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9728
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-14
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Hallo,
mach dir keine Sorgen!
Wenn man die Funktion um Null entwickelt, braucht man eben keine negativen Potenzen in der Laurentreihe und darum ist das Residuum Null. Genauso ist das Residuum in jedem Holomorphiepunkt Null.
Nur in Singularitäten kann es von Null verschieden sein, und darum braucht man auch nur darum Rechenmethoden.
Ein Grund ist z.B., dass man den Residuensatz dann so schreiben kann, dass man über _alle_ Residuen im Inneren der (einfach geschlossenen) Kurve summiert, es sind dann aber nur endlich viele Summanden ungleich Null.
Viele Grüße
Wally
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student77
Aktiv
Dabei seit: 17.09.2014
Mitteilungen: 181
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-14
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Hallo Wally,
ich denke ich verstehe es so langsam. Noch ein Beispiel
\(e^{\frac{1}{1-z}} = 1 - \frac{1}{z-1} + \frac{1}{ 2!(z-1)^2} +-... \) ist ja die Summe \( \sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{-1^{k}}{ k!(z-1)^k} \) Richtig?
und bei \(k= -1\) also \(c_{k} = c_{-1}\) wäre dann das Residuum \(c_{-1}\) =-1 weil der Koeffizient über dem Bruch dann \( -1^{-1}=-1 \) ist?
Grüße
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9728
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Das musst du noch genauer formulieren (sicherheitshalber).
Das Residuum bei \( z=1\) ist -1, ganz richtig. Was das mit dem Exponenten bei der 1 soll, verstehe ich nicht richtig.
Das Residuum bei 0 ist 0, weil die Funktion da holomorph ist (eine hebbare Singularität hätte denselben Effekt).
Wegen \( \sin \frac{1}{2z}=\frac{1}{2z}-\frac{1}{3! (2z)^3}+\cdots\) hat das Residuum bei \( z=0\) den Wert \( \frac{1}{2}\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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