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  Darstellungsmatrix eines Projektors |
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photon007
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 |  Themenstart: 2022-01-15
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Zeigen Sie: Eine lineare Abbildung y: V-V (dimV=n) ist ein Projektor, also y^2 = y, genau dann, wenn es eine Basis {b1, …, bn} von V gibt, sodass die Darstellungsmatrix von y (Basis im Definitionsbereich B, im Wertebereich die Standardbasis e1, …, en} nur Nullen als Einträge hat bis auf eine obere linke Teilmatrix, die die Einheitsmatrix ist.
Ich bin maximal verwirrt. Wie kann ich da die hin- und Rückrichtung zeigen? Diese Matrix ist ja nicht Invertierbar, wenn es Nullzeilen gibt bzw. diese obere linke Teilmatrix nicht gleich die gesamte Matrix ist?!
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-15
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Hallo,
was verleitet dich zu der Annahme, dass die Matrix invertierbar sein muss um die Aufgabe lösen zu können?
Am besten solltest du dich mal auf eine der beiden Richtungen konzentrieren und dir genau überlegen was zu zeigen ist. Dann schreibt sich der Beweis mehr oder weniger von selbst (vgl. Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann).
LG Nico
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photon007
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Ich habe mich mit beiden Seiten eigentlich intensiv beschäftigt und hänge total.
Beispiel Rückrichtung: Da diese Matrix die Bilder von der Basis B in Standardkoordinaten darstellt, gilt
y(b1) = e1
y(b2) = e2
…
y(br) = er
y(br+1) = 0
…
y(bn)=0.
Nun muss ich zeigen, dass y(v) = y(y(v)).
Sei also v in V mit v = k1 b1 + k2b2 + … + knbn. Dann ist y(v) = k1e1 + k2b2 + … + krer.
Nun bestimmt man y(y(v)) und jetzt scheitert es. Ich muss ja nun wissen, wie man die e1, …, er in Koordinaten von B schreibt, damit ich y anwenden kann, denn außer die Bilder auf die Bs weiß ich ja nichts….
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ist in deiner Aufgabe wirklich gegeben, dass im Wertebereich die Standardbasis verwendet werden soll?
Bei einem Endomorphismus $\varphi\in \opn{End}(V)$ wählt man für die darstellende Matrix bezüglich einer Basis für gewöhnlich im Definitions- und Wertebereich die selbe Basis. Weiter stellt sich dann natürlich die Frage, was "die" Standardbasis für einen beliebigen Vektorraum $V$ der Dimension $n$ ist?
LG Nico\(\endgroup\)
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photon007
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Ja, so ist es gegeben. Die Standardbasis des K^n meint , dass e_k eine 1 an k - ter Stelle hat und sonst nur. Nullen.
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photon007
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Ich habe mich vielleicht nicht ganz genau ausgedrückt. Dass wir B im Def Bereich verwenden und Sn im Wertebereich meint, dass wir die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen des zugehörigen K^n darstellen, d.h. Die Koordinatenabbildung. Die ei liegen natürlich nicht in V.
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nzimme10
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Aber du hast hier nicht den $K^n$, sondern irgendeinen Vektorraum $V$ der Dimension $n$. Da gibt es keine Standardbasis.
Die Aufgabe und Situation ist wohl so:
$V$ ist ein Vektorraum über dem Körper $K$ der Dimension $n$. Weiter ist $B=(b_1,\dots,b_n)$ eine Basis von $V$. Zuletzt ist $y\colon V\to V$ eine $K$-lineare Abbildung. Die darstellende Matrix $M_B^B(y)$ von $y$ bezüglich der Basis $B$ besteht aus den Spalten $v^{(1)},\dots,v^{(n)}$, wobei
$$
v^{(i)}=\sigma_B^{-1}(y(b_i))
$$
gilt. Dabei ist
$$
\sigma_B\colon K^n\to V, \ (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\mapsto \sum_{j=1}^n \lambda_jb_j.
$$
Wenn wir bei der Rückrichtung bleiben, dann weißt du nun, dass es ein $1\leq r\leq n$ gibt, so dass
$$
\sigma_B^{-1}(y(b_i))=e_i
$$
für $1\leq i\leq r$ und
$$
\sigma_B^{-1}(y(b_i))=0_{K^n}
$$
für $r[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)
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photon007
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Hallo, leider nein, die Matrix bei uns ist M mit S_n unten links und B unten rechts. So hatten wir eine Darstellungsmatrix von V-> W definiert, wobei B eine Basis des K^n von V ist und S_n in dem Fall die Standardbasis des K^m (dim V=n, dim W=m)
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Was ist denn eine Basis des $K^n$ von $V$?
Ich bin mir fast sicher, dass du da etwas noch nicht ganz verstanden hast. Ebenfalls bin ich mir sicher, dass du meinen vorherigen Beitrag nicht ausführlich gelesen und verstanden hast. Das wird mit eurer Definition nämlich exakt übereinstimmen.
Um es mal in Worten zu sagen: Wenn man die darstellende Matrix von $y$ bezüglich der Basis $B$ haben will, dann nimmt man die Basisvektoren $b_1,\dots,b_n$, berechnet $y(b_i)$ und schreibt anschließend $y(b_i)$ als Linearkombination in der Basis $B$. Dadurch bekommt man einen Vektor im $K^n$, den man dann in die $i$-te Spalte der Matrix schreibt.
Das ist das selbe wie zu sagen, dass man den Vektor $e_i$ im $K^n$ nimmt, die Abbildung $\sigma_B$ anwendet, darauf dann $y$ anwendet und anschließend wieder $\sigma_B^{-1}$ anwendet.
Man hat dabei das folgende Diagramm:
$
\begin{tikzcd}
V \arrow{r}{y}
& V \\
K^n \arrow{r}{y'} \arrow{u}{\sigma_B}
& K^n \arrow{u}[swap]{\sigma_B}
\end{tikzcd}
$
Eigentlich möchte man also die induzierte Abbildung $y'$ durch Matrixmultiplikation darstellen. Man möchte also eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ haben, so dass $y'(v)=Av$ für alle $v\in K^n$ gilt.
LG Nico\(\endgroup\)
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photon007
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Dann müsste die Aufgabenstellung falsch sein. Siehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54925_24266244-7594-46A6-B7C6-11A3A5513BE8.jpeg
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nzimme10
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-15
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\quoteon(2022-01-15 13:00 - photon007 in Beitrag No. 9)
Dann müsste die Aufgabenstellung falsch sein. Siehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54925_24266244-7594-46A6-B7C6-11A3A5513BE8.jpeg
\quoteoff
Nein das müsste sie nicht. Du hast denke ich einfach noch nicht ganz verstanden, was es mit der darstellenden Matrix auf sich hat. Ich habe meinen vorherigen Beitrag daher nochmal erweitert. Du könntest ja nochmal eure Definition der darstellenden Matrix hier posten bzw. dir genau ansehen.
LG Nico
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photon007
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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photon007
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54925_4A31DAEC-B7D3-4238-8FF0-089D55569D94.jpeg
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photon007
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Unten links steht die Basis im Bildraum und unten rechts die Basis im DefRaum…
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-15
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Okay, danke. Das ist exakt die Definition die ich verwendet habe. Nur eben für den Fall, dass wir bei der linearen Abbildung einen Endomorphismus, also zwei mal den selben Vektorraum und die selbe Basis haben.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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photon007
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Aber dann müsste doch das S_n am unteren linken Rand von M in der Aufgabenstellung ebenfalls ein B sein?
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nzimme10
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-01-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ich denke die Schreibweise ist so gemeint, dass man die Abbildung $y'=\sigma_B^{-1}\circ y\circ \sigma_B\colon K^n\to K^n$ bezüglich der kanonischen Basis des $K^n$ darstellen soll.
Das ist das selbe, wie die Abbildung $y$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ darzustellen, denn so ist die darstellende Matrix ja gerade definiert.
Anders ergibt es zumindest für mich keinen Sinn. Damit solltest du nun aber mit Beitrag No. 6 weiterarbeiten können.
LG Nico\(\endgroup\)
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photon007
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Vielen Dank. Die Rückrichtung hat geklappt und ist hoffentlich richtig:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54925_8DA9ACB1-D424-4429-9729-FF2A38F2DE8A.jpeg
Bei der Hinrichtung tue ich mir schwer, eine Basis zu finden. Es muss ja eine Basis von V gefunden werden, von der ein Teil auf sich selbst abgebildet wird und ein Teil auf die 0. Ich wäre für einen Tipp dankbar ;).
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nzimme10
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| Beitrag No.18, eingetragen 2022-01-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
die Rückrichtung sieht gut aus.
Für die Hinrichtung könntest du dir überlegen, dass
$$
\opn{im}(y)=\lbrace v\in V \mid y(v)=v\rbrace
$$
gilt, wenn $y$ eine Projektion ist. Zeige weiter, dass
$$
V\cong \opn{im}(y)\oplus \ker(y)
$$
gilt und wähle dann eine Basis von $\opn{im}(y)$ und eine von $\ker(y)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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photon007
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-15
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Ich denke, ich habe es nun. Vielen lieben Dank!!!
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2023-09-30 16:09 U <
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