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Analysis » Integration » Warum kommt hier pi raus?
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Universität/Hochschule Warum kommt hier pi raus?
cryingfarmer
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  Themenstart: 2022-01-17

Liebe Mathematiker, kann mir jemand erklären, warum \(\int_{-2}^2 x^3 cos(\frac{x}{ 2}+0,5)\cdot \sqrt{4-x^2} \ dx = \pi \) gilt?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

Huhu cryingfarmer, herzlich willkommen auf dem Planeten. Laut Wolfi gilt das nicht. Gruß, Küstenkind


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo und willkommen hier im Forum :) Woher weißt du denn, dass $\pi$ das Ergebnis sein muss? Eine kurze Überprüfung in Maple verleitet mich zu der Annahme, dass der Integrand keine elementare Stammfunktion besitzt. Maple liefert mir als angenäherten Wert für das Integral ungefähr $-2.709324740$. LG Nico [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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cryingfarmer
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Sorry, falsche Klammersetzung. Sollte heißen: \( \int_{-2}^2 (x^3 cos(x/2)+0.5) \sqrt(4 - x^2) dx \) Wolfi ist jetzt auch der Meinung, dass \(\pi \) rauskommt.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-18

Nette Aufgabe. Das Ergebnis von Wolfram alpha ist vielleicht numerisch. Teile den Integranden in einen geraden und einen ungeraden Teil auf. Viele Grüße Wally


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Squire
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-18

Zerlege in zwei Integrale. Beachte, dass eines davon eine ungerade Funktion über symmetrischen Grenzen integriert und daher ... ist. Das andere Integral ist nicht schwierig. Grüße Squire [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-18

Dass man gerade und ungerade Funktionen betrachtet wirkt bei manchen Integralen Wunder, z. B. hilft das auch bei \(\int_{-2}^2\frac{\cos(x)}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}\, \dd x\), was aber zunächst nicht ganz so offensichtlich erscheint. Gruß, Küstenkind PS: \(\LaTeX\)-Tipps: Schreibe \cos und \sqrt{} (keine runden Klammern benutzen).


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hyperG
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-18

Hilfestellung: nach Ausmultiplizierung bekommt man 2 Summanden, wobei eines "zur Verwirrung der Russen" einen komplizierten cos-Anteil hat, der sich aber durch ungerade Potenzen herauskürzt: \sourceon nameDerSprache Integrate[x^k*Sqrt[4 - x^2] Cos[x/2], {x, -2, 2}, Assumptions -> Element[k, Integers]] = ((-2)^k + 2^k)*hypergeometric... \sourceoff Nun mal da Produktgesetz für ungerade k anschauen... Für Liebhaber der Traditionellen Integralschreibweise: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_TraditionalIntegralCos.PNG Man kann das auch beweisen mit partieller Integration, wo man an die Stelle kommt: \sourceon nameDerSprache (4-x^2)^(3/2) (8+3 x^2) Sin[x/2]=32 Sqrt[4-x^2] Sin[x/2]+4 x^2 Sqrt[4-x^2] Sin[x/2]-3 x^4 Sqrt[4-x^2] Sin[x/2] \sourceoff also lauter Summanden mit x^(2k) Sqrt[4-x^2] Sin[x/2], die für jedes ganzzahlige k>=0 mit der symmetrischen Integration der beiden Nullstellen (-2,2) -> immer 0 ergeben.


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hyperG
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-19

Video zu "Integrale über ungerade Funktion": https://www.youtube.com/watch?v=fFdbKKzP6Ik oder anders: beim antisymmetrischen Integral kürzen sich die beiden identischen Flächen unterschiedlichen Vorzeichens heraus.


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