| |
| Autor |
  Übung Laplace-Transformation |
|
Chrispyk
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 01.09.2020
Mitteilungen: 30
 |  Themenstart: 2022-01-19
|
Guten Tag, folgende Aufgabe hab ich zur Übung gelöst und würde mich über ein zweites Paar Augen freuen, um mich auf möglicherweise vorhandene Fehler aufmerksam zu machen.
\(x(t) -2 \int_{0}^{t}\cos(t-\tau) \cdot x(\tau) d\tau = e^t\)
Transformiert dann:
\( X(s) -2 \frac{s}{s^2+1} \cdot X(s) = \frac{1}{s-1}\)
\( 1 -2 \frac{s}{s^2+1} = \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{X(s)}\)
\( \frac{1}{s-1} -0.5 \frac{s^2+1}{s} \frac{1}{s-1} = X(s)\)
\( \frac{s-0.5s^2-0.5}{s(s-1)} = X(s)\)
Partialbruchzerlegung:
\( \frac{s-0.5s^2-0.5}{s(s-1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1}\)
\( s-0.5s^2-0.5 = A(s-1) + Bs\)
\( s-0.5s^2-0.5 = A(s-1) + Bs\)
\(s = 0 \implies 0.5 = A\)
\(s = 1 \implies 0 = B\)
Rücktransformation:
\(\frac{0.5}{s} = X(s)\)
\(\mathcal{L}^{-1}(X(s)) = 0.5 \cdot \sigma(t)\)
Viele Grüße
Chris
|
 Profil
|
ThomasRichard
Senior 
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 449
Wohnort: Aachen
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20
|
Irrtum meinerseits, daher Antwort gelöscht - pardon.
|
Profil
|
rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11376
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-21
|
Hallo Chrispyk,
Deine Idee ist richtig, aber die Umformung von
\quoteon(2022-01-19 14:37 - Chrispyk im Themenstart)
\( X(s) -2 \frac{s}{s^2+1} \cdot X(s) = \frac{1}{s-1}\)
\( 1 -2 \frac{s}{s^2+1} = \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{X(s)}\)
\quoteoff
zu
\quoteon(2022-01-19 14:37 - Chrispyk im Themenstart)
\( \frac{1}{s-1} -0.5 \frac{s^2+1}{s} \frac{1}{s-1} = X(s)\)
\quoteoff
ist falsch, daher ist auch Dein Ergebnis nicht richtig. Letzteres kannst Du auch leicht nachprüfen: die Faltung mit der Sprungfunktion entspricht einer Integration, damit liefert die linke Seite der Faltungsgleichung $\sigma(t)/2+\sin(t) \neq e^t$.
Servus,
Roland
|
Profil
|
Chrispyk
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 01.09.2020
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
|
Hallo Roland, nochmals vielen Dank. Ich habe das Gefühl du bringst mich durch Signale und Systeme.
\(\frac{1}{s-1-\frac{2s(s-1)}{s^2+1}} = X(s)\)
\(\frac{1}{\frac{s^3+s-s^2-1-2s^2+2s}{s^2+1}} = X(s) \)
\(\frac{s^2+1}{s^3-3s^2+3s-1} = X(s)\)
\(\frac{s^2+1}{(s-1)^3} = X(s)\)
Erneut Partialbruchzerlegung führt zu:
\(\frac{1}{s-1} + \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{2}{(s-1)^3} = X(s)\)
Im Zeitbereich:
\(\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = e^t + 2e^t t + e^t t^2 = e^t(t^2+2t+1)\)
|
Profil
|
Chrispyk hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chrispyk hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
