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Universität/Hochschule Anteil berechnen bei diskreter Markovkette
Detlef7able
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Mitteilungen: 33
  Themenstart: 2022-01-20

Guten Tag, habe hier eine Aufgabe bzgl. diskreten Markovketten. Ich würde mich freuen wenn jemand mich auf Fehler aufmerksam machen würde. Bei Teilaufgabe d) habe ich keine Idee wie dies berechnet werden soll. Ein Finanzdienstleister gruppiert seine Mitarbeiter je nach Erfahrung im Unternehmen in drei Qualifikationsstufen Q1, Q2 und Q3. Das Unternehmen profitiert pro Monat von einem Mitarbeiter in Qualifikationsstufe Q1 mit 2000 EUR, in Qualifikationsstufe Q2 mit 3000 EUR, in Qualifikationsstufe Q3 mit 4000 EUR. Momentan befinden sich 6/10 aller Mitarbeiter in Qualifikationsstufe Q1 und jeweils 2/10 aller Mitarbeiter in den Qualifikationsstufen Q2 und Q3. Der Finanzdienstleister hat beobachtet, dass aus den Qualifikationsstufen Q1 und Q2 pro Monat jeweils 10% in die nächst höhere Qualifikationsstufe aufsteigen und in den Qualifikationsstufen Q2 und Q3 monatlich jeweils 10% ausscheiden und durch neue Mitarbeiter ersetzt werden, die wieder in der Qualifikationsstufe Q1 beginnen. a) Beschreiben Sie die Dynamik zwischen den Qualifikationsstufen des Finanzdienstleisters durch eine Markovkette (Xn) mit diskreter Zeit. Geben Sie die Übergangsmatrix und den Übergangsgraphen an. Bezeichnen Sie auch welche Beobachtung durch die Zufallsvariable Xn beschrieben wird. b) Ist die Markovkette irreduzibel? Ist sie aperiodisch? Begründen Sie ihre Antworten kurz. c) Wie lange verweilt ein Mitarbeiter im Mittel in Qualifikationsstufe Q1? d) Welcher Anteil an Mitarbeitern in Qualifikationsstufe Q3 ist im übernächsten Monat zu erwarten? e) Welcher Profit für den Finanzdienstleister ist auf lange Sicht pro Mitarbeiter und Monat durchschnittlich zu erwarten? a) (0.9,0.1,0;0.1,0.8,0.1;0.1,0,0.9) auf Übergangsgraphen verzichte ich Xn beschreibt den Anteil an wechselnden Mitarbeitern zwischen den Qualifikationsstufen b) ist irreduzibel, da Markovkette aus einer Klasse besteht Periode der Klasse ist 1, daher aperiodisch c) 10 e) Q1 1000 Q2 750 Q3 1000 insgesamt 2750


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-21

Huhu Detlef7able, ich kenne mich damit leider wenig aus - und habe deine Ergebnisse auch daher nicht geprüft. Geht es in Aufgabe d) nicht einfach darum mit Anfangsverteilung \(\vec{p_0}=(0.6, 0.2, 0.2)\) die Verteilung \(\vec{p_2}\) zu bestimmen - also \(\vec{p_2}=\vec{p_0}\cdot M^2\) mit Übergangsmatrix \(M\)? Vielleicht hast du ja Glück und es meldet sich noch einer mit mehr Ahnung als ich. Gruß, Küstenkind


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semasch
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-21

Moin zusammen, ergänzend zu Kuestenkinds Beitrag kann ich die gegebenen Antworten zu den Teilaufgaben (a), (b), (c) und (e) fast komplett bestätigen. Nur die in (a) angegebene Bedeutung von $X_n$ passt so nicht ganz. Diese Zufallsvariable gibt vielmehr die Qualifikationsstufe eines zufällig herausgegriffenen Mitarbeiters zum Zeitpunkt $n$ an. LG, semasch


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