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Analysis » Funktionalanalysis » Kommutatoren eines Multiplikationsoperators bestimmen
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Universität/Hochschule Kommutatoren eines Multiplikationsoperators bestimmen
Integral42
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  Themenstart: 2022-01-20

Hallo zusammen, ich möchte alle stetigen Operatoren $A\colon L^2_+\to L^2_+$ finden, die mit dem Operator $M\colon L^2_+ \to L^2_+, (M\varphi)(z) = z \varphi(z)$ kommutieren. Dabei ist \[ L^2_+ = \{ \varphi \in L^2(\mathbb{T}) \,\mid\, \forall\, n<0: \langle \varphi,z^n \rangle =0 ​\} \] der Raum aller quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Einheitskreis, deren negative Fourier-Koeffizienten verschwinden. Ich habe bereits gezeigt, dass $A$ von der Form $A\varphi = \psi\varphi$ für ein $\psi\in L^2_+$ ist. Meine Vermutung ist jedoch, dass $A$ nur dann wohldefiniert (oder stetig) ist, wenn $\psi$ wesentlich beschränkt ist. Kann das jemand bestätigen (oder widerlegen) oder mir einen Hinweis geben, wie ich das zeigen kann? Mein Ansatz war es, anzunehmen, dass $\psi$ nicht wesentlich beschränkt ist und dann eine Funktionfolge \[ \varphi_n = \chi_{\psi^{-1}(\mathbb{C}\setminus K_n(0))} \] zu betrachten. Es folgt dann, dass $\Vert A(\varphi_n)\Vert \geq n \Vert\varphi_n\Vert$ ist, was ein Widerspruch zur Beschränktheit von $A$ ist. Jedoch weiß ich nicht, ob die $\varphi_n$ überhaupt in $L^2_+$ liegen. Schon jetzt Danke für jede Hilfe und jeden Hinweis, das Integral.

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