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Schulmathematik » Folgen und Reihen, Induktion » Beschränktheit; Abschätzung nach unten
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Schule J Beschränktheit; Abschätzung nach unten
William_Wallace
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  Themenstart: 2022-01-22

Hallo Leute, ich bin grad ratlos, seit Stunden sitze ich hier und ich komme nicht drauf. (2n+1)/(n+1) Die Abschätzung nach oben ist klar: Ich mach den Zähler einfach etwas größer: (2n+2)/(n+1) = (2(n+1))/(n+1) = 2 Aber wie bitte kommt man bei der Abschätzung nach unten zu dem Ergebnis 0? Wie komme ich bitte drauf, dass 0 die größte untere Schranke ist? Wenn mir die Frage nach dem Vorgehen sagen könnte, wäre ich dankbar.


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-22

\quoteon(2022-01-22 21:47 - William_Wallace im Themenstart) (2n+1)/(n+1) Wie komme ich bitte drauf, dass 0 die größte untere Schranke ist? \quoteoff Gar nicht, weil es nicht stimmt. Tip: Zähler =Zähler+1-1 Gruß Wauzi


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William_Wallace
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-22 21:56 - Wauzi in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-01-22 21:47 - William_Wallace im Themenstart) (2n+1)/(n+1) Wie komme ich bitte drauf, dass 0 die größte untere Schranke ist? \quoteoff Gar nicht, weil es nicht stimmt. Tip: Zähler =Zähler+1-1 Gruß Wauzi \quoteoff Hm, ... (2n+1+1-1)/(n+1)=(n+1+n+1-1)/(n+1)=1+1-1/(n+1)=2-1/(n+1) ??


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-23

Hallo, bedenke einmal noch, dass hier n offensichtlich eine natürliche Zahl ist Vielleicht war das ja auch so gemeint, dass die Null eine untere Schränke ist, nur eben nicht die größte? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Folgen und Reihen, Induktion' von Diophant]


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William_Wallace
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Guten Morgen, wie finde ich denn die größte untere Schranke? Wie funktioniert das Abschätzen nach unten? Wie komme ich auf die Vermutung, dass 0 zumindest irgendeine Schranke ist? Danke


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, einmal andersherum gefragt: wie soll dieser Term denn negativ werden, solange \(n\) eine natürliche Zahl ist? \quoteon(2022-01-23 08:36 - William_Wallace in Beitrag No. 4) wie finde ich denn die größte untere Schranke? Wie funktioniert das Abschätzen nach unten? \quoteoff Letztendlich hängt das alles stark davon ab, welchem Zweck das Abschätzen dient. Von daher solltest du hier zunächst einmal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut angeben. Dann kann man diese Fragen auch zielführend beantworten. Ginge es bspw. um Folgenkonvergenz, dann wäre die untere Schranke hier eher nicht so wichtig. Oder geht es um eine Aufgabe, wo man größte untere und kleinste obere Schranke angeben soll? Falls es dir hilft: als Folge betrachtet ist der Term monoton steigend... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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William_Wallace
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 10:01 - Diophant in Beitrag No. 5) Hallo, einmal andersherum gefragt: wie soll dieser Term denn negativ werden, solange \(n\) eine natürliche Zahl ist? \quoteon(2022-01-23 08:36 - William_Wallace in Beitrag No. 4) wie finde ich denn die größte untere Schranke? Wie funktioniert das Abschätzen nach unten? \quoteoff Letztendlich hängt das alles stark davon ab, welchem Zweck das Abschätzen dient. Von daher solltest du hier zunächst einmal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut angeben. Dann kann man diese Fragen auch zielführend beantworten. Ginge es bspw. um Folgenkonvergenz, dann wäre die untere Schranke hier eher nicht so wichtig. Oder geht es um eine Aufgabe, wo man kleinste untere und größte obere Schranke angeben soll? Falls es dir hilft: als Folge betrachtet ist der Term monoton steigend... Gruß, Diophant \quoteoff Hallo, danke erstmal. Ich möchte tatsächlich schlicht nach Beschränktheit untersuchen. Das mit dem "nicht negativ werden" verstehe ich, danke. Dann vllt hier lieber ein anderes Beispiel bei dem nicht 0 als untere Abschätzung rauskommt... n/(2n+1) Abschätzung nach oben: 1. Möglichkeit: n/(2n+1) < n/2n = 1/2 = S 2. Möglichkeit: n/(2n+1) = n/(n*(2+1/n)) => n/(n(2+1/\inf)) => n/(n(2+0)) = 1/2 = S 3.Möglichkeit: n/(2n+1) = n/(2*(n+0,5)) < n/2n = 1/2 = S bitte verbessere mich, falls eine Argumentation so nicht haltbar ist... Abschätzung nach unten? Wie komme ich bitte auf 1/3 ? Bitte lass es ergründbar sein...


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mathsmaths
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-23

Hi, es gilt für $n\in\mathbb{N}$ (damit ist $n\geq1$): $\frac{n}{2n+1}\geq\frac{n}{2n+n} = \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}$ Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nochmal: um was geht es hier? Suchst du nach einer kleinsten oberen und einer größten unteren Schranke, oder nach irgendwelchen Schranken? Und: wie sind in dem Zusammenhang die natürlichen Zahlen zu verstehen, enthalten sie insbesondere die Null oder nicht? Abschätzen ist keine algorithmische Rechnerei, sondern es dient a) in der Regel irgendeinem Zweck und erfordert b) oft eine gewisse Kreativität (was aber wiederum mit a) zusammenhängt). \quoteon(2022-01-23 10:49 - William_Wallace in Beitrag No. 6) n/(2n+1) Abschätzung nach oben: 1. Möglichkeit: n/(2n+1) < n/2n = 1/2 = S 2. Möglichkeit: n/(2n+1) = n/(n*(2+1/n)) => n/(n(2+1/\inf)) => n/(n(2+0)) = 1/2 = S 3.Möglichkeit: n/(2n+1) = n/(2*(n+0,5)) < n/2n = 1/2 = S \quoteoff Bei deiner zweiten Möglichkeit berechnest du einfach nur den Grenzwert des Terms für \(n\to\infty\), das garantiert dir keinesfalls, dass dieser Wert auch irgendeine Schranke ist. Die beiden anderen Wege liefern die obere Schranke \(1/2\). \quoteon(2022-01-23 10:49 - William_Wallace in Beitrag No. 6) Abschätzung nach unten? Wie komme ich bitte auf 1/3 ? Bitte lass es ergründbar sein... \quoteoff Hier ist offensichtlich \(1\) die kleinste natürliche Zahl. Der Term selbst ist wiederum monoton steigend (was man ggf. gesondert zeigen muss), also liefert \(n=1\) hier die größte untere Schranke \(1/3\) (indem man nämlich einfach \(n=1\) einsetzt.) \quoteon(2022-01-23 10:49 - William_Wallace in Beitrag No. 6) Dann vllt hier lieber ein anderes Beispiel bei dem nicht 0 als untere Abschätzung rauskommt... \quoteoff Im ersten Beispiel ist die Null eine untere Schranke, genauso wie etwa die -157. Die größte untere Schranke ist 1, wenn die Null zu den natürlichen Zahlen gehört bzw. 3/2, wenn nicht. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)


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William_Wallace
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 11:04 - mathsmaths in Beitrag No. 7) Hi, es gilt für $n\in\mathbb{N}$ (damit ist $n\geq1$): $\frac{n}{2n+1}\geq\frac{n}{2n+n} = \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}$ Grüße \quoteoff das ist schön, danke [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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William_Wallace
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

@ Diophant: erstmal vielen Dank für ausführliche Hilfeleistung. So wie es sich jetzt durch deinen Beitrag herausgestellt hat, geht es nur im irgendwelche Schranken. Das stand im Schulbuch mM nicht klar ersichtlich... Und ja, mein Dozent ist der für mich plausiblen Meinung, dass es kein nulltes Folgeglied gibt. Nun haben sich dennoch zwei weitere Fragen aufgetan: Warum darf ich im zweiten Beispiel einfach das kleinste Folgenglied einsetzen? Das geht doch nicht immer so, oder doch? da du meintest es sei keine algorithmische Rechnerei? Hier schließt sich direkt die zweite Frage an: Beim ersten Beispiel ist die größte untere Schranke 3/2 ? Das kommt ja dann doch wieder, wenn man die 1 einsetzt. Geht das dann doch immer so? (oder zb. nur bei monoton wachsenden Folgen) Warum wurde im Schulbuch beim Musterbeispiel, dann schlicht die 0 gewählt, zumal die 3/2 genauso schnell bestimmt wäre? (Ich weiß, du hast keine Glaskugel, aber vllt dennoch eine plausible Erklärung) Hier übrigens das gleiche Beispiel, welches der gute Autor 1:1 einem alten Schulbuch aus den 90ern entnommen hat. hier


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-23

Hallo, \quoteon(2022-01-23 11:40 - William_Wallace in Beitrag No. 10) @ Diophant: erstmal vielen Dank für ausführliche Hilfeleistung. So wie es sich jetzt durch deinen Beitrag herausgestellt hat, geht es nur im irgendwelche Schranken. Das stand im Schulbuch mM nicht klar ersichtlich... Und ja, mein Dozent ist der für mich plausiblen Meinung, dass es kein nulltes Folgeglied gibt. \quoteoff Man muss sich darüber verständigen. Aber plausibel ist das nicht, um ehrlich zu sein. Siehe dazu diesen MP-Artikel. \quoteon(2022-01-23 11:40 - William_Wallace in Beitrag No. 10) Nun haben sich dennoch zwei weitere Fragen aufgetan: Warum darf ich im zweiten Beispiel einfach das kleinste Folgenglied einsetzen? Das geht doch nicht immer so, oder doch? da du meintest es sei keine algorithmische Rechnerei? \quoteoff Nein, das geht nicht immer so. Beide besprochenen Folgen sind aber monoton wachsend, und das kann man sich hier zunutze machen (denn es bedeutet ja, dass das Folgenglied mit dem kleinsten Index auch das kleinste sein muss). \quoteon(2022-01-23 11:40 - William_Wallace in Beitrag No. 10) Hier schließt sich direkt die zweite Frage an: Beim ersten Beispiel ist die größte untere Schranke 3/2 ? Das kommt ja dann doch wieder, wenn man die 1 einsetzt. Geht das dann doch immer so? (oder zb. nur bei monoton wachsenden Folgen) \quoteoff Auch diese Folge ist monoton wachsend. \quoteon(2022-01-23 11:40 - William_Wallace in Beitrag No. 10) Warum wurde im Schulbuch beim Musterbeispiel, dann schlicht die 0 gewählt, zumal die 3/2 genauso schnell bestimmt wäre? (Ich weiß, du hast keine Glaskugel, aber vllt dennoch eine plausible Erklärung) \quoteoff Es kommt wie gesagt auf mehrere Dinge an. Gehört die Null zu den natürlichen Zahlen, ja oder nein? Ersteres ist hier wie schon im verlinkten Artikel dargelegt die moderne Auffassung. Und dann eben wie gesagt auf die Frage, was eigentlich gesucht ist. Wenn man nur die Tatsache nachweisen möchte, dass eine Menge beschränkt ist, dann reicht der Nachweis irgendwelcher Schranken aus. Dabei nimmt man naturgemäß möglichst einfache Schranken. Also bspw. die Null als untere Schranke für Terme, die aus ersichtlichen Gründen (so wie hier in beiden Fällen) nicht negativ werden können. Geht es jedoch um die größte untere Schranke (also das sog. Infimum) bzw. die kleinste obere Schranke (das sog. Supremum), dann sind eben oftmals weitere Überlegungen notwendig, bzw. man muss dann aufpassen, dass man nicht zu grob abschätzt. \quoteon(2022-01-23 11:40 - William_Wallace in Beitrag No. 10) Hier übrigens das gleiche Beispiel, welches der gute Autor 1:1 einem alten Schulbuch aus den 90ern entnommen hat. hier \quoteoff Dort geht es ganz offensichtlich nur darum zu zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Und da ist die Null eben eine praktische weil einfache Wahl. Gruß, Diophant


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