| Autor |
  Sinus und Cosinus umwandeln |
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Sandrob
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 |  Themenstart: 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo zusammen😁
Seien A und B reelle Zahlen. Wie genau kann ich den Ausdruck $A\sin(x)+B\sin(x)$ nach $C\cos(x-\varphi)$ umwandeln und was sind die Ausdrücke für C und $\varphi$ in Abhängigkeit von A und B?
Liebe Grüsse
Sandro\(\endgroup\)
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23
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\quoteon(2022-01-23 11:13 - Sandrob im Themenstart)
Seien A und B reelle Zahlen. Wie genau kann ich den Ausdruck $A\sin(x)+B\sin(x)$ nach $C\cos(x-\varphi)$ umwandeln und was sind die Ausdrücke für C und $\varphi$ in Abhängigkeit von A und B?
\quoteoff
Das ist nicht so schwer.
Setze gleich $A\sin(x)+B\sin(x)
=C\cos(x-\varphi)$, wende das entspr. Additionstheorem an und mache einen Koeffizientenvergleich.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-23
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Huhu Sandrob,
siehe auch dort: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=226796&start=0#p1654056
Gruß,
Küstenkind
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Sandrob
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Danke euch beiden schon mal für die Antwort!
Ich habe nun leider gerade bemerkt, dass ich in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise 2 mal den Sinus geschrieben habe. Gemeint war eigentlich folgendes:
$A\sin(x)+B\cos(x)$
Wahrscheinlich ist aber auch dies über das Additionstheorem für $\cos(x-\varphi)$ zu lösen oder😁?\(\endgroup\)
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Kuestenkind
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-23
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Ach, da stand zweimal der Sinus?! Das habe ich glatt aus Gewohnheit überlesen. Nun ja - mein Link bezieht sich natürlich auf die korrigierte Fassung. Gehe, wie dort beschrieben, einfach zu Polarkoordinaten über.
Gruß,
Küstenkind
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Wario
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-23
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\quoteon(2022-01-23 11:51 - Sandrob in Beitrag No. 3)
Danke euch beiden schon mal für die Antwort!
Ich habe nun leider gerade bemerkt, dass ich in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise 2 mal den Sinus geschrieben habe. Gemeint war eigentlich folgendes:
$A\sin(x)+B\cos(x)$
Wahrscheinlich ist aber auch dies über das Additionstheorem für $\cos(x-\varphi)$ zu lösen oder😁?
\quoteoff
Habe ich jetzt auch übersehen, aber ändert nichts an der beschriebenen Vorgehensweise.
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Sandrob
Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Dann wäre also $A\sin(x)+B\cos(x)$ mit $A=r\sin(\varphi)$ und $B=r\cos(\varphi)$ somit $r\sin(\varphi)\cdot \sin(x)+r\cos(\varphi) \cdot \cos(x)=C\cos(x-\varphi)$.
Daraus können wir auf $C=r=\sqrt{A^2+B^2}$ schliessen und dann auf $\sin(\varphi)=\frac{A}{r}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ und dann mit dem Arkussinus auf $\varphi$ und dann hätten wir die Konstanten $C$ und $\varphi$ bestimmt.
Denke, so sollte ich es verstanden habe!
Danke für eure Hilfe😁\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-23
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Beachte aber was bei Wiki bzgl. der Fallunterscheidung geschrieben ist. Siehe auch dort:
https://de.wikipedia.org/wiki/Arctan2
Gruß,
Küstenkind
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