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Schule II. Hydra MINT Challenge
Eckard
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Magdeburg
  Themenstart: 2022-01-23

Liebe MINT-Enthusiasten, lasst uns hier die Aufgaben und Lösungen der II. Hydra MINT Challenge diskutieren. Ich freue mich auf eure Beiträge! Viele Grüße, -Eckard


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matipau
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.01.2022
Mitteilungen: 1
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23

Vielen Dank für den tollen Wettbewerb und die interessanten Aufgaben! Leider war etwas wenig Informatik dabei, und dafür sehr viel Physik. Hier ist ein Beweis der Dualitäts-Vermutung zu Aufgabe 10: Um den effektiven Widerstand einer Kante eines Polyeders \(P\) zu berechnen, betrachten wir die Stromflüsse entlang der Kanten, wenn wir eine Spannung zwischen dem Anfangspunkt \(v\) und dem Endpunkt \(w\) der Kante anlegen. Die Stromflüsse der einzelnen Kanten erfüllen die beiden Kirchhoffschen Gesetze: Einerseits ist für jede Ecke, außer für \(v\) und \(w\), die Summe der Stromflüsse gleich \(0\) (wenn wir alle Kanten so orientieren, dass sie aus der Ecke herauszeigen). Anderseits ist für jede Seitenfläche die Summe der Stromflüsse auch gleich \(0\) (wenn wir alle Kanten im Uhrzeigersinn orientieren), denn alle Kanten haben nach Voraussetzung den gleichen Widerstand, d.h. die Spannung ist jeweils proportional zum Stromfluss. Der gesuchte Gesamtwiderstand ist dann \(R\cdot\frac{I_k}{I_g}\), wobei \(I_k\) der Stromfluss der Kante von \(v\) nach \(w\) ist und \(I_g\) die Summe der Stromflüsse der aus \(v\) ausgehenden Kanten ist (denn \(R\cdot I_k\) ist die Potentialdifferenz zwischen \(v\) und \(w\), und \(I_g\) ist der Strom, der insgesamt von \(v\) nach \(w\) fließt). Nun können wir den Kanten des dualen Polyeders \(P'\) einfach die Stromflüsse der jeweils dualen Kanten zuweisen, wobei wir die Orientierung der dualen Kanten konsistent wählen (z.B. so, dass die duale Kante von der oberen zur unteren Seitenfläche zeigt, wenn wir das Polyeder \(P\) so drehen, dass die ursprüngliche Kante von links nach rechts zeigt). Dann ist das erste Kirchhoffsche Gesetz für \(P'\) aufgrund des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes für \(P\) erfüllt, und das zweite Kirchhoffsche Gesetz für \(P'\) ist aufgrund des ersten Kirchhoffschen Gesetzes für \(P\) erfüllt. Nur bei den zu \(v\) und \(w\) gehörenden Seitenflächen von \(P'\) stimmt das noch nicht, denn die Summe aller Kanten im bzw. gegen den Uhrzeigersinn ist hier \(I_g\) anstatt \(0\). Deshalb ersetzen wir den Stromfluss \(I_k\) entlang der gemeinsamen Kante dieser beiden Seitenflächen durch \(I_k-I_g\). Dann sind wieder alle Bedingungen erfüllt. Bei den Endpunkten \(v'\) und \(w'\) der Kante, die dual zur Kante zwischen \(v\) und \(w\) ist, beträgt die Summe der Stromflüsse der angrenzenden Kanten für \(v'\) nun \(-I_g\) (und bei \(w'\) ist es \(I_g\)), denn wir haben den Strom entlang der Kante von \(v'\) nach \(w'\) um \(I_g\) verringert und davor war die Summe \(0\) (weil die Summe der Kanten der zu \(v'\) und \(w'\) dualen Seitenflächen von \(P\) ja \(0\) war). Insgesamt beträgt der Gesamtwiderstand folglich \(R\cdot\frac{I_k-I_g}{-I_g}\). Zusammen ergibt sich: \[ R\cdot\frac{I_k}{I_g} + R\cdot\frac{I_k-I_g}{-I_g} = R \]


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Eckard
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6827
Wohnort: Magdeburg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hallo matipau, willkommen auf dem Matheplaneten! Ja, die zweite Runde war sehr physiklastig. Kann an meinem Studienfach liegen. Wir bemühen uns, den Wettbewerb beim nächsten Mal etwas ausgeglichener zu gestalten. Biologiefragen werden aber wohl niemals gestellt werden. Dein Beweis sieht gut aus, muss ihn aber erst noch genau lesen und verstehen. Heute schaffe ich das nicht mehr, dafür waren die letzten Tage zu anstrengend. Wenn ihr Spaß daran hattet, freut es uns. Viele Grüße, -Eckard


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patergonier
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.01.2022
Mitteilungen: 1
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-25

Die Vermutung ist schön. Ein eleganter Beweis ist bereits hier veröffentlicht: https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.748.1024 Im wesentlichen benutzt der Beweis die (i) Berechnung der Widerstandentfernung über aufspannende Bäume und (ii) die kanonische Bijektion zwischen aufspannenden Bäumen in primalen und dualen planaren Graphen. Danke für die Challange


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4132
Wohnort: Harz
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-01

Hallo Eckard (und... Hydra Teilnehmer/Interessierte), mich treiben die Aufgaben immer noch um (ich habe bei dem Contest, aus verschiedenen Gründen, mieserabel abgeschnitten, aber das motiviert nur), es sind schöne Anregungen dabei, und ich bedanke mich erstmal für das Ausrichten und die viele Mühe, die ihr in das Projekt investiert habt. Die Aufgabe zwei mit den Kugelpendeln. In der Lösung wird vorausgesetzt, dass sich fünf Kugeln nach dem initialen Stoßvorgang und ein bisschen Hin-und-Her mit gleicher Geschwindigkeit nach rechts bewegen. Natürlich bestand die Aufgabe darin, unter der Vorgabe dann die gefragten Werte zu berechnen. In der Musterlösung heißt es dann auch pauschal "wobei v′ die Geschwindigkeit der fünf Kugeln mit der Masse m nach dem elastischen Stoß ist." Aber wie kann man begründen, dass sie sich alle mit der gleichen Geschwindigkeit nach rechts bewegen? Grübelnde Grüße aus dem Harz Gerhard/Gonz


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