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Integration » Integration im IR^n » Beispiel zum Satz von Gauss
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Universität/Hochschule Beispiel zum Satz von Gauss
fexl
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  Themenstart: 2022-01-31

Hallo! Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Die Angabe lautet wie folgt: Berechnen Sie das Flächenintegral von \(F(x,y,z)=(x^3,y^3,z^3)\) über der Oberfläche der Einheitskugel. Die Idee war, den Integralsatz von Gauss, \(\int\limits_SF\cdot dS=\int\limits_\tau \text{div}Fd\tau\), zu nutzen, wobei \(S=\partial\tau\). Eine Parametrisierung der Einheitskugel ist durch \[\sigma(r,\varphi,\theta)=(r \text{sin}\theta \text{cos}\varphi, r \text{sin}\theta \text{cos}\varphi, r \text{cos}\theta)\] gegeben, wobei \(\varphi\in(0,2\pi),\theta\in(0,\pi),r\in(0,1)\). Die Divergenz von \(F\) ist \(\text{div}F=\nabla F=\frac{\partial}{\partial x}F_1+\frac{\partial}{\partial y}F_2+\frac{\partial}{\partial z}F_3=3(x^2+y^2+z^2)\). Unter Berücksichtigung von \[\frac{\partial\sigma}{\partial r}=(\text{sin}\theta \text{cos}\varphi,\text{sin}\theta \text{sin}\varphi, \text{cos}\theta),\] \[\frac{\partial\sigma}{\partial\varphi}=(-r\text{sin}\theta \text{sin}\varphi,r\text{sin}\theta \text{cos}\varphi, 0),\] \[\frac{\partial\sigma}{\partial\theta}=(r\text{cos}\theta \text{cos}\varphi,r\text{cos}\theta \text{sin}\varphi, -r\text{sin}\theta)\] und \[\frac{\partial\sigma}{\partial r}\times\frac{\partial\sigma}{\partial\varphi}=(-r\text{sin}\theta\text{cos}\theta\text{cos}\varphi, -r\text{sin}\theta \text{cos}\theta \text{sin}\varphi, r\text{sin}^2\theta)\] erhält man schließlich für das Volumenelement \[d\tau=\left|\left\langle\frac{\partial\sigma}{\partial r}\times\frac{\partial\sigma}{\partial\varphi},\frac{\partial\sigma}{\partial\theta}\right\rangle\right|dr d\varphi d\theta=r^2\text{sin}\theta dr d\varphi d\theta, \text{denn}\, \theta\in(0,\pi).\] Für das gesuchte Integral erhält man somit \[\begin{align}\int\limits_SF\cdot dS&=\int\limits_\tau \text{div}Fd\tau=\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1(\nabla F)(\sigma(r,\varphi,\theta))r^2\text{sin}\theta dr d\varphi d\theta\\ &=\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1(3r^2\text{sin}^2\theta\text{cos}^2\varphi+3r^2\text{sin}^2\theta\text{sin}^2\varphi+3r^2\text{cos}^2\theta)r^2\text{sin}\theta dr d\varphi d\theta\\ &=\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 3r^4\text{sin}\theta dr d\varphi d\theta\\ &=\int\limits_0^\pi \frac{1}{5}3\cdot 2\pi\text{sin}\theta d\theta\\ &=\frac{6}{5}\pi\left[-\text{cos}\theta\right]_0^\pi = \frac{12}{5}\pi\end{align}\] Es geht nun um Folgendes: Anscheinend darf man \(\nabla F=3(x^2+y^2+z^2)=3\) machen, da die Punkte der Einheitssphäre \(x^2+y^2+z^2=1\) erfüllen. Integriert man dann wie zuvor, erhält man \(\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 3r^2\text{sin}\theta dr d\varphi d\theta = 4\pi\). Meine Frage richtet sich dahingehend, wieso man zu \(\nabla F = 3\) vereinfachen darf, da man die Divergenz ja eigentlich über dem Volumen der Einheitskugel integriert und nicht alle Punkte der Kugel die zuvor genannte Beziehung erfüllen. Danke im Voraus!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo fexl, wenn du deine Rechnung genau ansiehst, benutzt du gar nicht \( \nabla F=3(x^2+y^2+z^2)=3\), sondern \( \nabla F=3(x^2+y^2+z^2)=3r^2\), wobei du das unnötig umständlich noch mal in den Koordinaten nachrechnest, d.h du könntest das Integral (2) einfach einsparen. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Mandelbluete
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-31

Hallo, fexl! Bei Dir ist ja $\tau$ die Vollkugel und $S$ ihr Rand, also die Kugelschale sozusagen. Wenn Du $\iiint_\tau \operatorname{div}(F) \, \mathrm d\tau$ berechnest, integierst du ja gerade nicht nur über den Rand, sondern über das ganze Kugelvolumen. Deine erste Rechnung stimmt also.


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fexl
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-04

Hallo Wally und Mandelbluete! Vielen Dank für eure Antworten! Ich war auch der Ansicht, dass \(\nabla F=3(x^2+y^2+z^2)=3\) nicht stimmt; danke für den Hinweis mit \(\ldots=3r^2\), das verkürzt das Ganze um einiges. Liebe Grüße fexl


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