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 Kondition einer Matrix-Fehlerabschätzung (Neumann-Reihe) |
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JonasR
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Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2022-02-08
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Guten Nachmittag! Ich schreibe morgen eine Klausur in Numerik und der Prof meinte, dass auf jeden Fall eine Aufgabe zur Fehlerabschätzung bzgl. Matrizen kommt. Nun rechne ich eine Altklausur von ihm und bei folgender Aufgabe komme ich nicht mehr weiter:
Aufgabe:
Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $n \in \mathbb{N}$, mit $A = \frac{1}{h} tridiag(1,4,1)$ für $h \neq 0$.
Zeigen Sie, dass $cond_{\infty}(A) \le 3$ unabhängig von der Dimension $n$ der Matrix $A$ ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung $A = \frac{4}{h} (1 + N)$ und betrachten Sie die Neumann'sche Reihe $(1 + N)^{-1} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (- N)^{k}$, um $\vert \vert A ^{-1} \vert \vert_{\infty}$ abzuschätzen.
Im Skript haben wir $cond_{\infty}(A) := \vert \vert A \vert \vert_{\infty} \cdot \vert \vert A^{-1} \vert \vert_{\infty}$.
Ich nehmen an, dass man mit "1" die Einheitsmatrix meint.
Aber was soll dann $N$ sein?
Mein Ansatz ist folgender:
$cond_{\infty}(A) = \vert \vert A \vert \vert_{\infty} \cdot \vert \vert A^{-1} \vert \vert_{\infty} = \vert \vert \frac{4}{h} (1 + N) \vert \vert_{\infty} \cdot \vert \vert (\frac{4}{h} (1 + N))^{-1} \vert \vert_{\infty} =$
$ \frac{4}{h} \cdot \vert \vert (1 + N) \vert \vert_{\infty} \cdot \left ( \frac{4}{h} \right )^{-1}\vert \vert (1 + N)^{-1} \vert \vert_{\infty} = \vert \vert (1 + N) \vert \vert_{\infty} \vert \vert (1 + N)^{-1} \vert \vert_{\infty} $
$\le \left (\vert \vert 1 \vert \vert_{\infty} + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \vert \vert (1 + N)^{-1} \vert \vert_{\infty} = \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \vert \vert (1 + N)^{-1} \vert \vert_{\infty}$
$= \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \vert \vert \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (- N)^{k} \vert \vert_{\infty} \le \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \vert \vert (- N)^{k} \vert \vert_{\infty}$
$ \overset{\text{submultiplikativ}}{\underset{\text{}}{\le}} \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \vert \vert (- N) \vert \vert_{\infty}^{k}$
$= \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \vert \vert N \vert \vert_{\infty}^{k}$
$ = \left ( 1 + \vert \vert N \vert \vert_{\infty} \right ) \cdot \frac{1}{1 - \vert \vert N \vert \vert_{\infty}}$
Sind meiner Schritte bis hierhin korrekt? Falls ja, dann komme ich ab hier nicht mehr weiter. Bis jetzt habe ich die Dimension $n$ der Matrix überhaupt nicht berücksichtigt. Kann mir jemand helfen?
Bedanke mich schonmal im Voraus.
Gruß, Jonas
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