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Autor
Universität/Hochschule Fundamentalsystem lineare Dgl.
Dominik1112
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 47
  Themenstart: 2022-02-08

Sei $\omega>0$ und $y'(x)=A(x)y(x)$, wobei $A\in C(\mathbb R,\mathbb C^{n\times n})$und $A(t)=A(t+\omega)$ a) Sei $Z(t)\in C(\mathbb R,\mathbb C^{n\times n})$ ein Fundamentalsystem der DG. Zeigen Sie, dass ein $B_Z$ existiert, sodass $Z(t+\omega)=Z(T)B_Z$. Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man hier vorgehen könnte? Ich habe nämlich noch keine Idee, wie $B_Z$ konkret aussieht, denke aber, dass $B_Z$ von $Z$ abhängt. VG Dominik

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-08

Sei $Z(t,s)$ das Fundamentalsystem mit $Z(t,t)=1$. Das ist ein Fluss im Sinne von $Z(t,s)Z(s,r)=Z(t,r)$, und aus $A(t)=A(t+\omega)$ folgt $Z(t+\omega,s+\omega)=Z(t,s)$. Nun ist $Z(t)=Z(t,0)Z(0)$ und damit$$ Z(t+\omega) = Z(t+\omega,\omega)\,Z(\omega,0)\,Z(0) = Z(t,0)\,Z(\omega,0)\,Z(0) = Z(t)\bigl[Z(0)^{-1}Z(\omega)\bigr] \;. $$Der Inhalt der eckigen Klammern ist dein $B_Z$. --zippy

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Dominik1112
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-08

Ich verstehe nicht ganz, was du mit dem Ausdruck $Z(t,t)$ meinst. $Z$ ist doch eine Funktion von $\mathbb R$ in die komplexen $n\times n$ Matrizen und nicht von $\mathbb R^2$ in die komplexen Matrizen.

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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-08

Ich bezeichne mit $Z(t,s)$ eine Funktion $\mathbb R^2\to\mathbb C^{n\times n}$. Du kannst sie auch $F(t,s)$ nennen, um sie nicht mit deinem $Z(t)$ zu verwechseln.

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Dominik1112 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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