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 Quadratische Konvergenz, Newton-Verfahren |
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JonasR
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2019
Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2022-02-08
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Guten Abend, zusammen.
Ich schreibe morgen Nachmittag eine Numerik - Klausur und ich habe Schwierigkeiten, die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens zu zeigen. Kann mir jemand netterweise erklären, wie ich da vorgehen kann?
Die Aufgabe, die ich bearbeite, lautet so:
Untersuchen Sie, ob sich für die nachfolgenden gegebenen Funktionen $f$ und $x^{(0)}$ die theoretisch zu erwartende quadratische Konvergenz des Newton - Verfahrens ergibt. Falls nicht, erläutern Sie Gründe dafür.
a) $f(x) = \sqrt{| x |}$ für $x^{(0)} = 0$
b) $f(x) = x^{3} - x$ für $x^{(0)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
c) $f(x) = x^{4}$ für $x^{(0)} \neq 0$
Wie kann ich ganz einfach prüfen, ob das Newton-Verfahren bei den Funktionen quadratisch konvergiert?
Reicht es z.B. bei der a) aus, damit zu argumentieren, dass $f'(x^{(0)}) = 0$ ist und somit die 1. Newton - Iterierte nicht existiert? Wie prüfe ich das aber bei b) und c)?
So, wie ich es verstanden habe, konvergiert das Newton - Verfahren quadratisch. Aber dafür müssen bestimmte Bedingen gelten. Da hatten wir diesen Satz in der Vorlesung:
Satz:
Die Funktion $f \in C^{2}[a,b]$ habe im Innern des Intervalls $[a,b]$ eine Nullstelle $z$, und es sei
$m := \min\limits_{a \le x \le b} \vert f'(x) \vert > 0$,
$M := \max\limits_{a \le x \le b} \vert f''(x) \vert$.
Sei $p > 0$ so gewählt, dass $q := \frac{M}{2m}p < 1$, $K_{p} := \{ x \in \mathbb{R}\; \vert \; \vert x - z \vert \le p \} \subset [a,b]$
Dann sind für jeden Startpunkt $x_{0} \in K_{p}(z)$ die Newton - Iterierten $x_{t} \in K_{p}(z)$ definiert und konvergieren gegen die Nullstelle $z$. Dabei gilt die Fehlerabschätzung
$\vert x_{t} - z \vert \le \frac{1}{m} \vert f(x_{t}) \vert \le \frac{M}{2m} \vert x_{t} - x_{t - 1} \vert^{2}$, $t \in \mathbb{N}$.
Vielleicht muss ich diesen Satz anwenden, aber ich weiß nicht wie, da im Satz nirgends $x^{(0)}$ auftaucht. Geht das auch einfacher?
Wäre für jede Antwort sehr dankbar.
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11473
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-08
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Hallo
Was du x^(0) nennst heisst im Text x_0
also steht das ja explizit da "Dann sind für jeden Startpunkt x0∈Kp(z).."
lula
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JonasR
Wenig Aktiv
Dabei seit: 31.10.2019
Mitteilungen: 69
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-08
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Hallo! Vielen Dank für deine Antwort. Ja, du hast Recht. Ich habe mich wahrscheinlich falsch ausgedrückt. Ich meinte eigentlich, dass ich nicht weiß, wie ich $x^{(0)}$ ins Spiel bringen kann.
Betrachten wir mal die b):
b) $f(x) = x^{3} - x$ für $x^{(0)}$
Im Satz ist ein abgeschlossenes Intervall gegeben. Wie soll ich in diesem Fall das Intervall wählen?
Weil $f$ ist zweimal stetig diffbar auf $(- \infty, \infty)$.
Aber wenn ich dieses Intervall nehme, dann ist $m := \min\limits_{- \infty < x < \infty} \vert f'(x) \vert = \min\limits_{- \infty < x < \infty} \vert 3x^2 - 1 \vert = 0$. Aber im Satz muss $m > 0$ sein...
Ich weiß also überhaupt nicht, welches Intervall ich betrachten soll.
Dann berechne ich laut dem Satz die Zahl $q$.
Dann stelle ich die Menge $K_{p}(z)$ auf, wobei $z$ eine Nullstelle von $f$ ist.
Welche Nullstelle von $f$ soll ich genau betrachten? Und was ist, wenn $f$ so kompliziert ist, dass ich die Nullstellen elementar nicht bestimmen kann?
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