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  Wie soll man die Lipschitzabschätzung für den Satz von Picard-Lindelöf wählen? |
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Tamref
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2022-02-09
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Ich versuche momentan folgen Aufgabe aus einer Altklausur als Vorbereitung zu lösen.
Zeigen Sie Existenz und Eindeutigkeit des AWP
\[y'=1+|y|, y(0)=2\]
zunächst auf einem Intevall \((-\varepsilon,\varepsilon)\). Dabei sei \(I:=(-1,1)\) und \(y:I \rightarrow \mathbb{R}\) stetig.
Begründen Sie ausßerdem, dass es genau eine Lösung des AWP auf ganz \(I\) gibt.
Nun möchte ich zum Lösen der Aufgabe den Satz von Picard-Lindelöf anwenden, dazu muss ich zeigen, dass \(y\) stetig ist und durch eine Lipschitzkonstante beschränkbar ist.
Dazu habe ich zunächst Versucht das AWP zu lösen, wobei ich mir mit meiner Lösung doch unsicher bin aufgrund des Betrags, welcher mich etwas irritiert.
Meine Lösung ist (mittels der Stanardformel für gewönliche DGLs 1. Ordnung):
\(y(x)=1+c\cdot e^{-x}\), das führt mit der Anfangswertbedingung zu \(c=1\). Also ist \(y(x)=1+e^{-x}\) die Lösung des AWP.
Für die Lipschitzabschätzung muss ich nun für \(a,b \in \mathbb{R} \)
\[|y(a)-y(b)| = |e^{-a}-e^{-b}| \leq L \cdot |a-b|\] zeigen.
Denn wenn ich einen der Werte besonders groß und den anderen sehr klein Wähle, so explodiert die linke Seite ja doch viel stärker als es die rechte tut, stark genug, so dass ich denke, dass sich das nicht durch eine Konstante beschränken lässt (falls doch wie würde ich hier ansetzen).
Das bereitet mir etwas Kopfzerbrechen und ich frage mich, ob ggf meine Lösung des AWP schon falsch ist.
VG Tamref
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-09
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\quoteon(2022-02-09 13:07 - Tamref im Themenstart)
dazu muss ich zeigen, dass \(y\) stetig ist und durch eine Lipschitzkonstante beschränkbar ist.
\quoteoff
Nein, das musst du nicht für $y$, sondern für die "rechte Seite", also die Funktion $y\mapsto1+|y|$, zeigen.
--zippy
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Tamref
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09
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Oh, da habe ich im Skript wohl falsch interpretiert. Danke für den Hinweis.
Dann komme ich auf
\[|1+|y(a)|-1-|y(b)|| = ||e^{-a}|-|e^{-b}|| \leq L \cdot |y(a)-y(b)| = L \cdot ||e^{-a}|-|e^{-b}||\]
Also kann ich \(L=1\) setzen und habe gezeig, dass es nach Picard-Linedlöf genau eine Lösung für das AWP auf dem Intervall (-\varepsilon,\varepsilon\) gibt.
Der Unterschied zum zweiten Teil der Aufgabe ist mir jetzt noch nicht ganz klar. Soll ich noch die lokale Version des Satzes anwenden und \(a,b\) nicht aus \(\mathbb{R}\) sondern aus \(I\) wählen?
VG Tamref
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-09
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\quoteon(2022-02-09 13:40 - Tamref in Beitrag No. 2)
Dann komme ich auf
\[|1+|y(a)|-1-|y(b)|| = ||e^{-a}|-|e^{-b}|| \leq L \cdot |y(a)-y(b)| = L \cdot ||e^{-a}|-|e^{-b}||\]
\quoteoff
$y$ ist hier das Argument der Funktion $y\mapsto 1+|y|$. Es ergibt keinen Sinn, $y(a)$ und $y(b)$ zu schreiben. Und erst recht darfst du nicht für $y$ die Lösung einsetzen, deren Existenz du ja mit dieser Abschätzung erst noch zeigen willst.
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rlk
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Dabei seit: 16.03.2007
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-02-09
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Hallo Tamref,
\quoteon(2022-02-09 13:07 - Tamref im Themenstart)
Meine Lösung ist (mittels der Stanardformel für gewönliche DGLs 1. Ordnung):
\(y(x)=1+c\cdot e^{-x}\), das führt mit der Anfangswertbedingung zu \(c=1\). Also ist \(y(x)=1+e^{-x}\) die Lösung des AWP.
...
ich frage mich, ob ggf meine Lösung des AWP schon falsch ist.
\quoteoff
Deine Lösung ist falsch, $y' \geq 1$ impliziert ja eine streng monoton wachsende Funktion $x \mapsto y$. Es ist aber vermutlich nur ein kleiner Rechenfehler.
Servus,
Roland
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Tamref
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Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09
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@rlk
Aufgrund des Beitrags von zippy scheint mir generell das Lösen schon falsch zu sein, denn wie zippy schon sagte, kann ich ja ggf gar nicht lösen, dass das AWP lösbar ist will ich ja erst mit Picard-Linedelöf zeigen.
@zippy
Okay, dass ich meine Lösung ob nun richtig oder faslch nicht einsetzen darf leuchtet mir ein.
Nachdem ich die Notation bei mir im Skript nicht so ganz verstehe, habe mich am Wikipediaartikel bedient.
Dort wird die DGL wie folgt definiert \(y'(x)=f(x,y(x))\)
\(f(x,y(x))\) ist in meinem Fall also gleich der rechten Seite \(1+|y|\) wobei ich die Funktion \(y\) hier Kurzschreibweise ohne Argument angegeben habe.
Ich verstehe nicht so Recht warum \(y(a)\) keinen Sinn ergeben sollte.
Im Wikipediaartiekl wird wieter definiert: \(y_i=y(x_i)\)
Für die Lipschitzbedingung steht dort (habe Norm durch Betrag ersetzt, da es in meinem Fall das selbe ist):
\[|f(x_1,y_1) - f(x_2,y_2)| \leq L \cdot |y_1 -y_2| \]
Nun leuchet mir aber nicht ein wie ich das prüfen kann, wenn mir doch die Funktion/Lösung \(y\) nicht bekannt ist bzw. ich gerade ihre Existenz/Eindeutigkeit zeigen möchte, denn damit lassen sich ja auch die \(y_i\) dann nicht bestimmen.
VG Tamref
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mathilde01
Aktiv 
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Mitteilungen: 62
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-09
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Du kannst die rechte Seite als Funktion einer Veränderlichen $g(y)=|y|+1$ sehen, d.h. du musst nicht wissen, wie die Lösungsfunktion aussieht(falls sie existiert).
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Tamref
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09
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Dann kann ich ja keine Werte mehr in \(y\) einsetzen, setze ich dann in \(g\) ein? Wie würde dann die Lipschitzabschätzung aussehen? So hier?
\[|g(a)-g(b)| = ||a|-|b|| \leq L \cdot |a-b|\] ?
Das wäre die umgekehrte Dreiecksungleichung, also würde \(L=1\) folgen.
VG Tamref
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mathilde01
Aktiv
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Mitteilungen: 62
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-02-09
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Ja, die Abschätzung sieht gut aus.
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Tamref
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09
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Okay, das wäre dann ja die Lösung für den ersten Teil meiner Aufgabe.
Damit ist aber ja doch auch schon gezeigt, dass es nur genau eine Lösung gibt oder? Wenn ich also noch den zweiten Teil zeigen soll bzgl des Intervalls \((-1,1)\) dann wäre mein Vorgehen wie? AWP lösen und sagen okay Lösung liegt in dem Intervall und da es nur eine Lösung gibt (global) kann es auch nur eine Lösung auf dem Intervall geben?
VG Tamref
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