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| Autor |
  Widerlegen, dass diam (äußeres) Maß ist |
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Tamref
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2022-02-10
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Ich übe grad mit folgender Aufgabe:
Zeigen Sie, dass
\[\text{diam}(A):= \sup_{x,y \in A} |x-y|\]
kein (äußeres) Maß definiert.
Dazu schaue ich mir die Definition eines (äußeren) Maßes an und überlege mir welche Voraussetzung ich am leichtesten kaputt machen kann.
Damit diam eine Maß ist muss es die leere Menge auf 0 abbilden. Ich wüsste schon nicht wie das funktionieren soll, denn ich kann ja schlecht x,y aus der leeren Menge wählen um die Differenz geschweige denn das Supremum zu bilden. Reicht das schon? Oder geht man hier davon aus, dass das ganze dann als 0 definiert ist?
Die andere Voraussetzung wäre die abzählbare Subadditivität. Doch wenn ich disjunkte Mengen wähle und deren Durchmesser bestimme so lande ich doch mit der Vorstellung der Dreiecksungleichung immer bei einer Summe von Durchmessern die größer ist als der Durchmesser der Menge, welche sich ergibt, wenn ich alle disjunkten Mengen vereinige.
VG Tamref
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
auf welche Menge ist $\opn{diam}$ hier definiert? Teilmengen eines metrischen Raums?
in den meisten Fällen definiert man das Supremum der leeren Menge als $-\infty$, denn nur so lässt sich im Allgemeinen garantieren, dass aus $A\subseteq B\subseteq \IR$ folgt, dass $\sup(A) \leq \sup(B)$.
In diesem konkreten Beispiel dürfte aber $\opn{diam}(\emptyset):=0$ gemeint sein.
Damit müsste ein Gegenbeispiel also an der Subadditivität scheitern. Prüfe Deine Überlegung mit der Dreiecksgleichung also nochmal.
Tipp: \showon
Was passiert, wenn $A$ eine endliche Menge ist?
\showoff\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4643
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-02-10
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\quoteon(2022-02-10 14:14 - Tamref im Themenstart)
Doch wenn ich disjunkte Mengen wähle und deren Durchmesser bestimme so lande ich doch mit der Vorstellung der Dreiecksungleichung immer bei einer Summe von Durchmessern die größer ist als der Durchmesser der Menge, welche sich ergibt, wenn ich alle disjunkten Mengen vereinige.
\quoteoff
Nein, schon einfachste Beispiele zeigen das Gegenteil:$$
\def\d #1.{\operatorname{diam}\bigl(#1\bigr)}
\d[0,1]\cup[2,3].=3\not\le2=\d[0,1].+\d[2,3].$$--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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LetsLearnTogether
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-10
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Hallo,
\quoteon
Damit diam eine Maß ist muss es die leere Menge auf 0 abbilden. Ich wüsste schon nicht wie das funktionieren soll, denn ich kann ja schlecht x,y aus der leeren Menge wählen um die Differenz geschweige denn das Supremum zu bilden.
\quoteoff
Die Aussage $x,y\in X$ macht immer Sinn, auch wenn die Menge leer ist.
Über die leere Menge denkt man wohl am besten nach, indem man sich überlegt, dass es keine Gegenbeispiele gibt.
Fangfrage für dich: Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Alle pinken Einhörner sind blau.
\showon Antwort
Die Aussage ist richtig!
Das Ding ist, dass es keine Einhörner gibt. Du kannst mir also kein Gegenbeispiel zeigen für ein pinkes Einhorn welches nicht blau ist, weil du mir schon kein pinkes Einhorn zeigen kannst.
\showoff
Jetzt kannst du dir überlegen was Supremum der leeren Menge sein sollte, indem du dich fragst welche Elemente der leeren Menge diese Eigenschaft kaputt machen könnten, also in dem Sinne, dass die Bedingung eben nicht gilt.
Was ist denn nun das Supremum der leeren Menge?
Es sollte also schon an dieser Eigenschaft liegen, aber wohl aus "unerwarteten" Gründen.
Nicht etwa, dass die Frage an sich nicht sinnvoll ist.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Tamref
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-10
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Danke für die Erklärung bzgl der leeren Menge.
@Nuramon
Ich kann Einpunktmengen wählen die dann immer diam = 0 haben und die Vereinigung hat aber diam > 0.
@zippy
Ja das leuchtet, ein ich habe bei meiner Überlegung fälschlicherweise angenommen, dass die vereinigten disjunkten Mengen zusammenhängen sind.
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helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1605
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-10
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\quoteon(2022-02-10 14:44 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 3)
Was ist denn nun das Supremum der leeren Menge?
\quoteoff
"Das" Supremum der leeren Menge gibt es nicht. Es kommt darauf an, als Teilmenge welcher Menge man "die leere Menge" betrachtet. Etwa:
\(\emptyset \subset (- \infty,+\infty)\)
\(\emptyset \subset [- \infty,+\infty]\)
\(\emptyset \subset [0,+\infty)\)
Gerne auch: \(sup \; \emptyset = 42\), nämlich in der Menge \( [42,+\infty)\)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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LetsLearnTogether
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-10
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Das ist mir durchaus bewusst.
In der Maß und Integrationstheorie arbeitet man normalerweise in den erweiterten reellen Zahlen. Im Zusammenhang mit einem äußeren Maß wahrscheinlich von vornherein in $[0,\infty]$.
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