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| Autor |
 Bedingungen für Vierecke |
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ziad38
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.08.2018
Mitteilungen: 877
 |  Themenstart: 2022-02-15
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Hallo,
unter welchen Bedingungen?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50461_tttt888888888.png
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cramilu
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Mitteilungen: 2478
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-15
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Guten Morgen ziad38,
rufe Dir beispielsweise den Begriff
"Dreiecksungleichung" ins Gedächtnis.
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ziad38
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-15
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aha, ja guter Tipp , ich melde mich morgegn: ich sage hier aber heute schnell
a+b>c
a+c>b
b+c>a
damit ein Dreieck kunstruierbar
stimmt?
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3107
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-15
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Hallo
Ich nehme an, dass e die Diagonale ist? Überlege dir in welche Teildreiecke das Viereck zerlegt wird.
Gruß Caban
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ziad38
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-16
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hallo
Mein Versuch
ja stimm wenn a+b>e ist dann eindeutig zweiLödungen
a=3
b=3
e=4
aber wenn a+b=e--> wie gibt es NUR eine Lösung?
a=3
b=2
e=5
dann entsteht bi c3 einen Punkt aber wir alles zu einer LInie , ich sehe kein Dreieck mehr
Lösung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50461_t666666666666.png
meien Löung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50461_llllllllllllllllllllllllllllll.png
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-16
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Guten Morgen,
Deine Zweifel sind berechtigt, denn erstens ist
in der Aufgabe nach Bedingungen für drei
verschiedene Lösungsarten gefragt, während die
"Musterantwort" lediglich zwei davon behandelt.
Und zweitens ist die "Musterantwort" schlicht falsch!
Wikipedia: Viereck
Nach jahrzehntealter Übereinkunft benennt man
im Viereck die Punkte gegen den Uhrzeigersinn
mit "A" bis "D", die Seite "a" verbindet die beiden
Punkte "A" und "B", die Seite "b" die Punkte
"B" und "C" etc. und die Diagonale "e" die Punkte
"A" und "C".
Wenn nun also »\(a+b\leq e\)« oder »\(c+d\leq e\)«
gilt, dann ist die jeweilige Dreiecksungleichung
- z.B. \(a+b>e\) - eben nicht erfüllt, und es gibt
keine Lösung!
Und wenn die jeweiligen Ungleichungen in der
"Musterantwort" wenigstens richtig wären,
bliebe die Aussage immer noch falsch!
Überlege Dir doch bitte anhand der »Hierarchie
der Vierecke« (Bildchen) im Wikipedia-Artikel,
welche Zusatzinformationen Du über die Längen
der Seiten noch benötigst, damit es zu einer
gegebenen Diagonalenlänge beispielsweise
eindeutig ist, ob es sich um ein Drachenviereck
oder um ein Parallelogramm handelt...
p.s.
Falls alle "Stücke" tatsächlich mit exakten Maßen
angegeben sind, also nicht bloß »\(a=c\)« oder so,
dann genügen natürlich die Erfüllungen der beiden
Dreiecksungleichungen für die Eindeutigkeit,
denn dann ist jedes der beiden Teildreiecke nach
»\(SSS\)-Kongruenz« über jeweils drei Seitenlängen
eindeutig bestimmt!
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-16
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\quoteon(2022-02-16 07:23 - cramilu in Beitrag No. 5)
Nach jahrzehntealter Übereinkunft benennt man
im Viereck die Punkte gegen den Uhrzeigersinn
mit "A" bis "D", die Seite "a" verbindet die beiden
Punkte "A" und "B", die Seite "b" die Punkte
"B" und "C" etc. und die Diagonale "e" die Punkte
"A" und "C".
\quoteoff
Davon sollte man wohl ausgehen. Dafür dass es ein (nicht entartetes) Viereck mit den gegebenen Längen gibt, ist a+b > e und c+d > e dann notwendig und hinreichend. Wird zusätzlich gefordert, dass B und D auf unterschiedlichen Seiten der Diagonalen e liegen, ist es dann eindeutig. (Bis auf Drehung und Verschiebung.) Andernfalls könnte es derer zwei geben.
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StrgAltEntf
Senior
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-16
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Mir gelingt es gerade nicht, Bedingungen für a, b, c, d und e zu formulieren, sodass der Punkt B innerhalb des Dreiecks ACD liegt. (Und es somit zwei Vierecke mit den Seiten a, b, c, d und der Diagonalen e gibt.)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_Viereck.png
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-02-16
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\quoteon(2022-02-16 13:42 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7)
Mir gelingt es gerade nicht, Bedingungen für a, b, c, d und e zu formulieren, sodass der Punkt B innerhalb des Dreiecks ACD liegt.
\quoteoff
Hat jemand eine Idee? Ich meine natürlich notwendige und hinreichende Bedingungen.
Der von Cramilu verlinkte Wikipedia-Artikel sagt übrigens: "Überschlagene Vierecke [...] werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet." Das sehe ich genauso.
Grüße
StrgAltEntf
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-02-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
@StrgAltEntf: Du meinst unter der Voraussetzung, dass B und D auf der gleichen Seite von AC liegen?
Dann liegt B im Inneren des Dreiecks ACD, genau dann, wenn der $\sphericalangle CAB < \sphericalangle CAD $ und $\sphericalangle BCA < \sphericalangle DCA$.
Da $\cos$ im Intervall $[0,\pi]$ streng monoton fallend ist, kann man diese Bedingung mit dem Kosinussatz durch $a,b,c,d,e$ ausdrücken.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-16
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@Nuramon: 👍
Es gilt also:
$b^2= a^2+e^2-2ae\cos \sphericalangle CAB$
$c^2= d^2+e^2-2de\cos \sphericalangle CAD$
bzw.
$\sphericalangle CAB=\arccos\frac{e^2+a^2-b^2}{2ae}$
$\sphericalangle CAD=\arccos\frac{e^2+d^2-c^2}{2de}$
Wegen $\sphericalangle CAB<\sphericalangle CAD$ also
$\frac{e^2+a^2-b^2}{2ae}>\frac{e^2+d^2-c^2}{2de}$
bzw.
(i) $d(e^2+a^2-b^2)>a(e^2+d^2-c^2)$
Analog:
(ii) $c(e^2+b^2-a^2)>b(e^2+c^2-d^2)$
Es gibt also genau dann genau zwei Vierecke mit den Seitenlängen a, b, c, d und e, wenn (i) und (ii) erfüllt sind.
Die nächste Aufgabe wäre nun, (i) $\wedge$ (ii) schöner zu schreiben. 🙃
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\quoteon
Es gibt also genau dann genau zwei Vierecke mit den Seitenlängen a, b, c, d und e, wenn (i) und (ii) erfüllt sind.
\quoteoff
Das stimmt noch nicht, denn es gibt auch dann zwei Vierecke, wenn D im Inneren des Dreiecks ACB liegt. Das ist genau dann der Fall, wenn man in (i) bzw. (ii) jeweils $>$ durch $<$ ersetzt.
So müsste es richtig sein:
Es gibt genau zwei nichtkongruente Vierecke mit den gegebenen Größen, genau dann, wenn die ganzen Dreiecksungleichungen erfüllt sind und zusätzlich noch
$$(d(e^2+a^2-b^2)-a(e^2+d^2-c^2) ) (c(e^2+b^2-a^2)-b(e^2+c^2-d^2)) >0 $$
gilt.
(Die letzte Ungleichung sagt aus, dass die Differenzen der beiden Seiten in (i) bzw. (ii) das gleiche Vorzeichen haben.)\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-02-16
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\quoteon(2022-02-16 23:11 - Nuramon in Beitrag No. 11)
Das stimmt noch nicht, denn es gibt auch dann zwei Vierecke, wenn D im Inneren des Dreiecks ACB liegt.
\quoteoff
Aber wir haben doch die Vereinbarung, dass a, b, c, d entgegen des Uhrzeigersinns orientiert sind.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2478
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-02-16
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Wenn a, b, c, d streng entgegen dem Uhrzeigersinn
orientiert sein sollen, muss jedes konvexe Viereck
ein teilweises Orientierungsproblem aufwerfen.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-02-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
\quoteon(2022-02-16 23:46 - StrgAltEntf in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-02-16 23:11 - Nuramon in Beitrag No. 11)
Das stimmt noch nicht, denn es gibt auch dann zwei Vierecke, wenn D im Inneren des Dreiecks ACB liegt.
\quoteoff
Aber wir haben doch die Vereinbarung, dass a, b, c, d entgegen des Uhrzeigersinns orientiert sind.
\quoteoff
Wenn das Viereck auf der anderen Seite von e (verglichen mit der Skizze aus No.7) liegt, dann stimmt es wieder mit dem Uhrzeigersinn, wenn $D$ im Inneren von $ACB$ ist.\(\endgroup\)
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ziad38
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-17
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wenn ich MEHRERE Antworte gleichzeitig bekomme , bin durcheinander bin und kann nur noch schlechter versthen und konzentrieren.
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ziad38
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2018
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-17
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cramilu
wei würdest du die Aufgabe antworten?
Also wenn eine Lösung , wenn 2 Löungen, wenn keine Lösungen?'kannst du KÜRZ erklären.oder die Aufgabe an an sich ist falsch?
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2478
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.17, eingetragen 2022-02-17
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Guten Morgen ziad38,
ich möchte zunächst darlegen,
wie ich den Aufgabentext verstehe:
»Ein Viereck ABCD sei durch die Stücke a, b,
c, d und e gegeben. [...]« verstehe ich so,
dass man sich beim Zeichnen an die Übereinkunft
hält, also Punkt "A" grob links unten, Punkt "B"
grob rechts unten, Punkt "C" grob rechts oben
sowie Punkt "D" grob links oben, und dass z.B.
\(a=\vert AB\vert=5cm\) , \(b=\vert BC\vert=3cm\) , \(c=\vert CD\vert=2cm\) ,
\(d=\vert DA\vert=7cm\) und \(e=\vert AC\vert=6cm\) ausdrücklich
angegeben sind.
Dann kann man die beiden Teildreiecksungleichungen
\(a+b>e\) und \(c+d>e\) schon vor dem Zeichnen
daraufhin überprüfen, ob sie erfüllt sind.
Außerdem könnte man überprüfen:
WIKIPEDIA - Ungleichungen in Vierecken
Falls beide Teildreiecksbedingungen erfüllt sind,
sollte die Lösung eindeutig sein - von konkaven
Varianten (einer der drei Punkte liegt innerhalb
des Dreieckes aus den drei anderen) abgesehen.
Ist auch nur eine der beiden nicht erfüllt,
so kann es keine Lösung geben, und man braucht
gar nicht erst anfangen zu zeichnen.
Nun lautet die Frage laut Aufgabentext aber
»[...] Unter welcher Bedingung [Einzahl!] für diese
Stücke gibt es genau ein, kein, zwei Lösungsvierecke?«.
Das hatte mich zunächst wieder weg geführt von den
Teildreiecksungleichungen und zu anderen Überlegungen,
weil ich »eine Bedingung« gesucht habe, welche alle fünf
gegebenen Größen berücksichtigt und zu zwei Lösungen
führen kann. Das müsste ja nicht zwingend und direkt
mit den Teildreiecksungleichungen zu tun haben.
Solche Gedanken sind jedoch angesichts der Lösung,
die Du gepostet hast, unnötig. Offenbar hatte der
Aufgabensteller genau die Teildreiecksungleichungen
mit der gegebenen Diagonale im Sinn. Dann jedoch ist
seine Angabe schlicht falsch, denn die Ungleichungen
sind "falsch herum" angegeben. Außerdem hat er zu
»zwei Lösungsvierecke« gar nichts gesagt.
Meine Antwort hätte beispielsweise gelautet:
Wenn eine der Ungleichungen \(a+b>e\) und \(c+d>e\)
nicht erfüllt ist, gibt es keine Lösung. Sind beide erfüllt,
so gibt es genau eine Lösung für ein konvexes Viereck.
Zwei Lösungen kann es nur geben, wenn das Viereck
auch konkav sein darf.
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.18, eingetragen 2022-02-17
|
@Nuramon #14: Das habe ich nun verstanden, danke!
@cramilu #13: Das mit dem Dativ habe ich auch verstanden; ich hoffe ich merke mir das bis zum nächsten Mal 🙃 Das mit dem Orientierungsproblem aber nicht.
@ziad38: Ich kann mir kaum vorstellen, dass die Lösung aus #11 von dir verlangt wird.
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cramilu
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| Beitrag No.19, eingetragen 2022-02-17
|
@StrgAltEntf:
Moin moin 😉 Nix für ungut von wegen Dativ,
aber nicht-dudenmäßiger Gebrauch vom[!] Genitiv
stößt mir auf. Rein subjektiv.
Mit dem stets teilweisen Orientierungsproblem
meine ich, dass in einem konkaven Viereck für
den einen Punkt, welcher innerhalb des Dreieckes
aus den drei anderen liegt, meines Wissens [😉]
keine Konvention besteht, ob man ihn fortlaufend
zum ihm nächstgelegenen Punkt beschriftet oder
wie sonst. Und dann wird man dort zwangsweise
die Orientierung wechseln, so wie ich das sehe.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.20, eingetragen 2022-02-20
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\quoteon(2022-02-16 09:22 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
\quoteon(2022-02-16 07:23 - cramilu in Beitrag No. 5)
Nach jahrzehntealter Übereinkunft benennt man
im Viereck die Punkte gegen den Uhrzeigersinn
mit "A" bis "D", die Seite "a" verbindet die beiden
Punkte "A" und "B", die Seite "b" die Punkte
"B" und "C" etc. und die Diagonale "e" die Punkte
"A" und "C".
\quoteoff
Davon sollte man wohl ausgehen. Dafür dass es ein (nicht entartetes) Viereck mit den gegebenen Längen gibt, ist a+b > e und c+d > e dann notwendig und hinreichend. Wird zusätzlich gefordert, dass B und D auf unterschiedlichen Seiten der Diagonalen e liegen, ist es dann eindeutig. (Bis auf Drehung und Verschiebung.) Andernfalls könnte es derer zwei geben.
\quoteoff
Ups, das ist nicht richtig 🙄
Es muss zusätzlich a < b+e, b < a+e, c < d+e und d < c+e gelten, damit das Viereck existiert.
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| ziad38 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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