Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Berufspenner Ueli rlk MontyPythagoras
Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Analyse eines Signalflussgraphen 2
Autor
Universität/Hochschule J Analyse eines Signalflussgraphen 2
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 288
  Themenstart: 2022-02-16

Gegeben ist das nachfolgend dargestellte zeitdiskrete System $H[z]$ mit den beiden Teilsystemen $H_1[z]$ und $H_2[z]$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Systemanalyse_Signalflussgraph1.png 1) Geben Sie die Differenzengleichungen der beiden Teilsysteme $H_1[z]$ und $H_2[z]$ an. 2) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion des Gesamtsystems $H[z] = Y[z]/X[z]$ 3) Berechnen Sie die Impulsantwort $h[n]$ des Systems. Das in Dunkelblau ($v_1[z], v_2[z]$), habe ich hinzugefügt, damit es bei der Berechnung übersichtlich bleibt. Ich komme bei der Berechnung von $H_1[z], H_2[z]$ auf: Für $H_1[z]$: $$v[z] = 3 \cdot x[z] + 2 \cdot x[z] \cdot z^{-1}$$ $$H_1[z] = 3 + 2 \cdot z^{-1}$$ Für $H_2[z]$: $$v_1[z] = v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z]$$ $$v_2[z] = v_1[z] \cdot z^{-1} = \left(v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z]\right)z^{-1}$$ $$v_2[z] = \frac{v[z] \cdot z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} \cdot z^{-1}}$$ $$v_1[z] = v[z] + \frac{v[z]\cdot z^{-1}}{\frac{1}{2} - z^{-1}}$$ $$y[z] = 2 \cdot v_1[z] + 3 \cdot v_2[z] = 2 \cdot \left(v[z] + \frac{v[z]\cdot z^{-1}}{\frac{1}{2} - z^{-1}} \right) + 3 \cdot \left(\frac{v[z] \cdot z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} \cdot z^{-1}} \right)$$ $$H_2[z] = 2 + 2 \cdot \frac{z^{-1}}{\frac{1}{2} - z^{-1}} + 3 \cdot \frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} \cdot z^{-1}}$$ $H_1[z]$ und $H_2[z]$ zusammengefasst ergibt: $$H[z] = H_1[z] + H_2[z] = 3 + 2 \cdot z^{-1} + 2 + 2 \cdot \left(2 \cdot \frac{z^{-1}}{1 - 2z^{-1}}\right) + 3 \cdot \frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} \cdot z^{-1}}$$ $$H[z] = 5 + 2z^{-1} + 4z^{-1} \cdot \frac{1}{1 - 2z^{-1}} + 3z^{-1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ Und das z-invers transformiert ergibt dann: $$h[n] = 5\delta[n] + 2 \delta[n-1] + 4 \delta[n-1]*\epsilon[n]2^{n} + 3\delta[n-1]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n$$ $$h[n] = 5\delta[n] + 2 \delta[n-1] + 4\epsilon[n-1]2^{n-1} + 3\epsilon[n-1]\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}$$ ist das soweit richtig?


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11421
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-17

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-16 20:44 - Sinnfrei im Themenstart) Das in Dunkelblau ($v_1[z], v_2[z]$), habe ich hinzugefügt, damit es bei der Berechnung übersichtlich bleibt. \quoteoff das ist eine gute Idee. Du kannst Dir Schreibarbeit ersparen, wenn Du die Abhängigkeit von $z$ nicht explizit angibst, also $v_1$ und $v_2$ schreibst. Zu Deiner unkonventionellen Verwendung von runden und eckigen Klammern habe ich in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257434&post_id=1870426 etwas geschrieben. \quoteon(2022-02-16 20:44 - Sinnfrei im Themenstart) Ich komme bei der Berechnung von $H_1[z], H_2[z]$ auf: Für $H_1[z]$: $$v[z] = 3 \cdot x[z] + 2 \cdot x[z] \cdot z^{-1}$$ $$H_1[z] = 3 + 2 \cdot z^{-1}$$ \quoteoff Das ist richtig, aber bei der Berechnung von $v_1$ ist Dir ein Fehler unterlaufen. \quoteon(2022-02-16 20:44 - Sinnfrei im Themenstart) Für $H_2[z]$: $$v_1[z] = v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z]$$ $$v_2[z] = v_1[z] \cdot z^{-1} = \left(v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z]\right)z^{-1}$$ $$v_2[z] = \frac{v[z] \cdot z^{-1}}{1 - \frac{1}{2} \cdot z^{-1}}$$ $$v_1[z] = v[z] + \frac{v[z]\cdot z^{-1}}{\color{red}{\frac{1}{2}} - z^{-1}}$$ \quoteoff Du multiplizierst den Bruch für $v_2$ mit $1/2$, also den Nenner mit $2$. \quoteon(2022-02-16 20:44 - Sinnfrei im Themenstart) $H_1[z]$ und $H_2[z]$ zusammengefasst ergibt: $$H[z] = H_1[z] + H_2[z]$$ \quoteoff nein, die beiden Teilsysteme mit den Übertragungsfunktionen $H_1$ und $H_2$ sind in Kette geschaltet, daher musst Du $H_1$ und $H_2$ nicht addieren, sondern anders verknüpfen. Wie? Servus, Roland


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 288
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-18

\quoteon(2022-02-17 22:26 - rlk in Beitrag No. 1) das ist eine gute Idee. Du kannst Dir Schreibarbeit ersparen, wenn Du die Abhängigkeit von $z$ nicht explizit angibst, also $v_1$ und $v_2$ schreibst \quoteoff Meinst du so? $$v_1[z] = v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z] \quad (1)$$ $$v_2[z] = v_1[z] \cdot z^{-1} \quad (2)$$ $(2)$ umgeformt nach $v_1[z]$ und in $(1)$ eingesetzt: $$v_1[z] = v_2[z] \cdot z$$ $$v_2[z] = \frac{v[z]}{z - \frac{1}{2}} = \frac{v[z]z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $v_2[z]$ dann wieder in $(2)$ eingesetzt komme ich auf: $$v_1[z] = \frac{v[z]z}{z - \frac{1}{2}} = \frac{v[z]}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ Dann komme ich für $H_2[z]$ auf: $$H_2[z] = 2v_1[z] + 3v_2[z] = 2 \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \right) + 3 \cdot \left(\frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \right)$$ \quoteon(2022-02-17 22:26 - rlk in Beitrag No. 1) Zu Deiner unkonventionellen Verwendung von runden und eckigen Klammern habe ich in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257434&post_id=1870426 etwas geschrieben. \quoteoff Die Klammern im Graphen, sowie die Klammern im Aufgabentext, sind so vorgegeben gewesen aber ja, in vielen Büchern, auch im Oppenheim wird die z-Übertragungsfunktion in runden Klammern, also $H(z)$ angegeben und die Differenzengleichung in eckigen Klammern. Zudem ist unserem Prof. die Konvention der Klammern relativ egal. Ich versuche mich dann meist an die Aufgabe zu halten und die Konvention aus dem Aufgabentext, welche gerade gewählt wurde, zu übernehmen um keine Verwirrung beim Prüfer auszulösen. \quoteon(2022-02-17 22:26 - rlk in Beitrag No. 1) nein, die beiden Teilsysteme mit den Übertragungsfunktionen $H_1$ und $H_2$ sind in Kette geschaltet, daher musst Du $H_1$ und $H_2$ nicht addieren, sondern anders verknüpfen. Wie? \quoteoff Die Systeme $H_1[z], H_2[z]$ wären hintereinander geschaltet und damit, wären beide multiplikativ miteinander verknüpft. Wären beide parallel geschaltet, müsste man dann beide Übertragungssysteme addieren. Somit würde sich die Gesamtübertragungsfunktion $H[z]$ wie folgt ergeben: $$H[z] = H_1[z] \cdot H_2[z] = (3 + 2z^{-1}) \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}\right) + (3 + 2z^{-1}) \cdot 3 \cdot \left(\frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}\right)$$ $$H[z] = \frac{6 + 4z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{9z^{-1} + 6z^{-2}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $$H[z] = 6\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 4z^{-1}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 9z^{-1}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 6z^{-2}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $$h[n] = 6 \epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 4\delta[n-1]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 9\delta[n-1]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 6\delta[n-2]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n$$ $$h[n] = 6\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^{n} + 4\epsilon[n-1]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 9\epsilon[n-1]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6\epsilon[n-2]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$$


   Profil
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11421
Wohnort: Wien
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-20

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-18 02:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-02-17 22:26 - rlk in Beitrag No. 1) das ist eine gute Idee. Du kannst Dir Schreibarbeit ersparen, wenn Du die Abhängigkeit von $z$ nicht explizit angibst, also $v_1$ und $v_2$ schreibst \quoteoff Meinst du so? $$v_1[z] = v[z] + \frac{1}{2} \cdot v_2[z] \quad (1)$$ $$v_2[z] = v_1[z] \cdot z^{-1} \quad (2)$$ \quoteoff nein, ich meinte dass Du die vielen $[z]$ weglässt, weil sie nichts an der Rechnung ändern: $$v_1 = v + \frac{1}{2} \cdot v_2 \quad (1)$$ $$v_2 = v_1 \cdot z^{-1} \quad (2)$$ \quoteon(2022-02-18 02:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) $(2)$ umgeformt nach $v_1[z]$ und in $(1)$ eingesetzt: $$v_1[z] = v_2[z] \cdot z$$ $$v_2[z] = \color{blue}{\frac{v[z]}{z - \frac{1}{2}}} = \frac{v[z]z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $v_2[z]$ dann wieder in $(2)$ eingesetzt komme ich auf: $$v_1[z] = \color{blue}{\frac{v[z]z}{z - \frac{1}{2}}} = \frac{v[z]}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ \quoteoff Hier hätte ich zuerst $(2)$ in $(1)$ eingesetzt, damit wären die blau markierten Terme erst gar nicht entstanden. Sie sind zwar nicht falsch, haben aber nicht die gewünschte Form, nämlich Quotienten aus Polynomen in $z^{-1}$. \quoteon(2022-02-18 02:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Dann komme ich für $H_2[z]$ auf: $$H_2[z] = \color{red}{2v_1[z] + 3v_2[z]} = 2 \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \right) + 3 \cdot \left(\frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \right)$$ \quoteoff Die Übertragungsfunktion ist der Quotient der z-Transformierten von Ausgangs- und Eingangssignal, letzteres ($v$) fehlt im rot markierten Teil, das Ergebnis ist aber richtig. \quoteon(2022-02-18 02:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Die Klammern im Graphen, sowie die Klammern im Aufgabentext, sind so vorgegeben gewesen aber ja, in vielen Büchern, auch im Oppenheim wird die z-Übertragungsfunktion in runden Klammern, also $H(z)$ angegeben und die Differenzengleichung in eckigen Klammern. Zudem ist unserem Prof. die Konvention der Klammern relativ egal. Ich versuche mich dann meist an die Aufgabe zu halten und die Konvention aus dem Aufgabentext, welche gerade gewählt wurde, zu übernehmen um keine Verwirrung beim Prüfer auszulösen. \quoteoff Das ist lobenswert, solange Du Dich nicht selbst verwirrst. \quoteon(2022-02-18 02:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Die Systeme $H_1[z], H_2[z]$ wären hintereinander geschaltet und damit, wären beide multiplikativ miteinander verknüpft. Wären beide parallel geschaltet, müsste man dann beide Übertragungssysteme addieren. Somit würde sich die Gesamtübertragungsfunktion $H[z]$ wie folgt ergeben: $$H[z] = H_1[z] \cdot H_2[z] = (3 + 2z^{-1}) \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}\right) + (3 + 2z^{-1}) \cdot 3 \cdot \left(\frac{z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}\right)$$ $$H[z] = \frac{6 + 4z^{-1}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{9z^{-1} + 6z^{-2}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $$H[z] = 6\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 4z^{-1}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 9z^{-1}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} + 6z^{-2}\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$$ $$h[n] = 6 \epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 4\delta[n-1]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 9\delta[n-1]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n + 6\delta[n-2]*\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^n$$ $$h[n] = 6\epsilon[n]\left(\frac{1}{2}\right)^{n} + 4\epsilon[n-1]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 9\epsilon[n-1]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6\epsilon[n-2]\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$$ \quoteoff Das ist richtig, die beiden Terme mit $z^{-1}$ würde ich zusammenfassen, also \[ H[z] = \frac{6 + 13z^{-1} + 6z^{-2}}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} \] schreiben. Servus, Roland


   Profil
Sinnfrei
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 288
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-21

\quoteon(2022-02-20 21:33 - rlk in Beitrag No. 3) Die Übertragungsfunktion ist drr Quotient der z-Transformierten von Ausgangs- und Eingangssignal, letzteres ($v$) fehlt im rot markierten Teil, das Ergebnis ist aber richtig. \quoteoff Das Eingangssignal steckt ja in $v_1$ und $v_2$ drin. Daher hatte ich es bereits gedanklich auf die andere Seite gebracht, so dass es für die Übertragungsfunktion $H_2[z]$ wieder stimmt.


   Profil
Sinnfrei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sinnfrei hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]