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  Abstand eines Punktes von einem Unterraum |
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butts
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 |  Themenstart: 2022-02-19
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Hallo !
Folgende Aufgabe: Die lineare Abbildung
\(\lambda: \mathbb{R}^5\rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch
\[\lambda \left(\left(x_1, \ldots,x_5\right)\right)= x_1+2x_2+3x_3+4x_4-x_5\].
Dann ist ker \(\lambda\) ein 4-dimensionaler Unterraum von \(\mathbb{R}^5\). Berechnen Sie für einen beliebigen Punkt \(\xi \in \mathbb{R}^5\) den Abstand des Punktes zu ker \(\lambda \).
Soweit die Aufgabe. Der Kern ist die Menge aller Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden. Wenn der Kern 4-dimensional ist, so benötigt man vier linear unabhängige Vektoren um diese Menge zu erzeugen. Aber wie kann ich den Abstand eines beliebigen Punktes des \(\mathbb{R}^5\) zu dieser MENGE von Vektoren bestimmen ?
Grüße !
butts
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
breche das Problem einmal herunter auf den \(\IR^3\) und eine vergleichbare Abbildung nach \(\IR\). Welche Gestalt besitzt dann der Kern? Um welche Form von Unterraum geht es hier?
Und dann möchte ich noch die Hessesche Normalenform ins Spiel bringen...
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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butts
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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Hallo Diophant,
Danke fürs verschieben !
Wenn Du die Hessesche Normalenform nennst dann wäre der Unterraum im Fall des \(\mathbb{R}^3 \) eine Ebene. Um den Abstand des Punktes zu bestimmen benötigt man da einen Normaleneinheitsvektor der Ebene. In dem Link ist nachzulesen daß sich dies auch auf den \(\mathbb{R}^n \) verallgemeinern läßt. Bloß wie findet man Normalenvektor ?
Im Fall des \(\mathbb{R}^3 \) wäre ja etwa für die Ebene E:\(x_1+x_2+2x_3=6\) der Normalenvektor \(\vec{n_1}=\begin{pmatrix}
1\\1\\2
\end{pmatrix}\)
Wäre dann der Normalenvektor aus dem \(\mathbb{R}^5\) gleich
\(\vec{n_2}=\begin{pmatrix}
1\\2\\3\\4
\end{pmatrix}\)?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,
\quoteon(2022-02-19 21:16 - butts in Beitrag No. 2)
Wäre dann der Normalenvektor aus dem \(\mathbb{R}^5\) gleich
\(\vec{n_2}=\begin{pmatrix}
1\\2\\3\\4
\end{pmatrix}\)?
\quoteoff
Da ist dir wohl versehentlich die fünfte Komponente \(-1\) verlustig gegangen?
Mache dir klar, warum das auch im \(\IR^n\) ein Normalenvektor ist. Stichworte wären hier das Standardskalarprodukt und der Kosinussatz im \(\IR^n\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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butts
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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\quoteon(2022-02-19 21:28 - Diophant in Beitrag No. 3)
Da ist dir wohl versehentlich die fünfte Komponente \(-1\) verlustig gegangen?
\quoteoff
ups! Ja \(x_5\) fehlt.
Also vollständig dann.
\(\vec{n_2}=\begin{pmatrix}
1\\2\\3\\4\\-1
\end{pmatrix}\)
Für die Elemente des Kerns \(\vec{x} \in ker \; \lambda\) gilt dann wenn man das Standardskalarprodukt benutzt:
\[\vec{x}\cdot \vec{n_2}-d=0\].
Und die sich in dieser Gleichung ergebende Zahl d ist der gesuchte Abstand ?
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-02-19 21:43 - butts in Beitrag No. 4)
Für die Elemente des Kerns gilt dann wenn man das Standardskalarprodukt benutzt:
\[\vec{x}\cdot \vec{n_2}-d=0\].
Und die sich in dieser Gleichung ergebende Zahl d ist der gesuchte Abstand ?
\quoteoff
Nein, so geht es nicht. Schaue dir dort nochmal die Abstandsberechnung per HNF genauer an.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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butts
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-19
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Hallo!
Ach Ich muß noch durch den Betrag von \(|\vec n_2| \) teilen.
Der Abstand eines Punktes x zur Hyperebene E, wenn deren Normalenvektor
\(\vec n_2\) ist, lautet :
\(d(x,E)=\left|\frac{\vec x \cdot \vec n_2 - d}{|\vec n_2|}\right|\)
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-19
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Hallo,
genau: jetzt ist es richtig. Und auf das Zauberwort 'Hyperebene' wollte ich dich eigentlich schon mit Beitrag #1 hinweisen... 😉
Gruß, Diophant
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butts
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-20
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Hallo !
Diophant vielen Dank !
Und nun habe ich auch noch ein Zauberwort 😉
H Ü Ü Ü P E R E B E N E
- das werde ich mir jetzt gut merken ...
Ich wünschen Euch einen schönen Sonntag !
lG butts
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