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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Globale Lösung der DGL y' = exp(-y²)
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Universität/Hochschule Globale Lösung der DGL y' = exp(-y²)
elef0300
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  Themenstart: 2022-02-21

Sei $y^\prime =e^{-y^2}$ und $y(0)=c$. Für welche $c\in \mathbb R$ Ist das AWP eindeutig lösbar? Ist die Lösung jeweils global? Ich würde sagen, dass die Lösung für alle $c\in \mathbb R$ eindeutig ist. Das folgt aus Picard-Lindelöf, da die rechte Seite stetig differenzierter ist. Wie kann ich aber überprüfen, ob die Lösung global ist?

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-21

Hallo, die rechte Seite genügt nicht nur lokal sondern global einer Lipschitz-Bedingung. Kennst du in diesem Fall Resultate (vermutlich kurz nach Picard-Lindelöf), die dir die globale Existenz einer Lösung garantieren? LG Nico

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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-02-21

Hallo ele0300, je nachdem, was du an Sätzen zur Verfügung hast, hilft dir vielleicht auch, dass die rechte Seite der Dgl. beschränkt ist. Viele Grüße Wally

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elef0300
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-21

Ich habe ganz übersehen, dass die rechte Seite sogar global Lipschitz-stetig ist. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf (globale Version) ist das AWP für alle $c\in \mathbb R$ global lösbar. (das AWP ist doch sogar für alle alle beliebigen $t_0$ lösbar, oder?)

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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-02-21

Hallo, du zitierst hier öfter den Satz von Picard-Lindelöf und warum dieser dir die Existenz und Eindeutigkeit garantiert. Wenn du dir den Satz also genau ansiehst, kannst du deine bisherigen Fragen damit alle beantworten. LG Nico

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elef0300 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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