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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Dgl. Lösung beliebig oft differenzierbar
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Universität/Hochschule J Dgl. Lösung beliebig oft differenzierbar
Pioch2000
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  Themenstart: 2022-02-22

Hallo, ich soll beweisen, dass jede Lösung der Dgl. $y^{\prime\prime}(t)=y^\prime(t)+\sin(y(t))$ beliebig oft differenzierter ist. Meine Frage ist, wie ich hier vorgehe. Ich kann ja nicht die Dgl. explizit lösen und mir die Lösungsfunktion anschauen.

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, eine Lösung $f\colon I\to \mathbb R$ dieser DGL ist offenbar zwei mal differenzierbar. $\sin$ ist unendlich oft differenzierbar. Nun gilt $$ f''(t)=f'(t)+\sin(f(t)) $$ für alle $t\in I$. Alle Terme auf der rechten Seite sind differenzierbar und daher existiert $$ f'''(t)=(f'')'(t)=f''(t)+\cos(f(t))f'(t). $$ Nun sind wieder alle Terme auf der rechten Seite differenzierbar und daher existiert $f^{(4)}$ und so weiter. LG Nico\(\endgroup\)

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Pioch2000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-22

Danke für den Hinweis, ich habe es jetzt durch Induktion bewiesen.

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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-22

Genau, so kann man es dann formal korrekt zeigen. LG Nico

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Pioch2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pioch2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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