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Universität/Hochschule J Scharmittelung und Autokorrelation
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-02-24

Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt, dass folgender Scharmittelwert $$\mathcal{E}\left\{s(t - \theta)s(t + \tau - \mu)\right\}$$ dasselbe ist, wie die Autokorrelation $$\varphi_{ss}(\tau - \mu + \theta)$$ und wie man darauf kommt, dass $$\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(-t')h(t+t')dt = Kreuzkorrelation \quad \varphi_{sh}(t')$$ ergibt. Danke schon mal im voraus.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-24

Hallo Sinnfrei, für ergodische Prozesse $s$ liefern Schar- und Zeitmittelwerte dasselbe, daher kann man die Autokorrelationsfunktion für solche Prozesse auch mit den angegebenen Scharmittelwert berechnen. Bei der Formel für die Kreuzkorrelation fehlt ein $t$ im Argument von $s$ und das Argument der KKF sollte wohl $2t'$ lauten, es gibt die Verschiebung zwischen den beiden Signalen an. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

Meine Frage war auf das Argument der AKF bezogen und nicht auf die Ergodizität. Mir ist das klar, dass Schar- und Zeitmittelwerte gleich sein müssen. Warum fehlt bei dem Punkt der KKF, in einem s ein t und warum $2t'$?


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-24

Hallo Sinnfrei, das Argument $\Delta t$ der Korrelationsfunktion $\varphi_{sh}(\tau)$ ist doch die Differenz (die Verschiebung, von der ich in Beitrag 1 geschrieben habe) der Argumente von $s$ und $h$ im Erwartungswert oder Integral: \[ \varphi_{sh}(\Delta t)=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t)h(t + \Delta t)\,\dd t \] In Deinem ersten Beispiel sind die Argumente $t - \theta$ und $t + \tau - \mu$ mit der Differenz $(t + \tau - \mu) - (t - \theta) = \tau - \mu + \theta$. Im zweiten Beispiel steht im Integral die Konstante $s(-t')$ statt dem Signal $s(t-t')$, was nicht stimmen kann. Wenn das richtige Argument $t - t'$ ist, ergibt sich die Differenz $(t + t') - (t - t') = 2t'$. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

Warum ist das dort die Differenz? Sorry das ich so dumm Frage aber ich kann es mir noch nicht ganz vorstellen. Ich weiss jetzt, dass es eine Differenz zwischen beiden sein soll. Das Zufallssignal s bereit mir da irgendwie Kopfschmerzen. $$\varphi_{ss}(\tau) = \overline{s(t)\cdot s(t + \tau)} = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} s(t)s(t + \tau)dt$$ Mal ein Beispiel, was ich vor langer Zeit mal geschrieben hatte: $$\varphi_{gg}(\tau) = \overline{g(t) \cdot g(t + \tau)} = \overline{(\underbrace{s(t)*h(t)}_{g(t)}) \cdot (\underbrace{s(t + \tau)*h(t + \tau)}_{g(t+\tau)})} \quad (1)$$ $$\varphi_{gg}(\tau) = \overline{\left(\int_{-\infty}^{+\infty} s(t') \cdot h(t - t')dt'\right) \cdot \left(\int_{-\infty}^{+\infty} s(\color{red}{t'' + \tau}) \cdot h(t - t'')dt''\right)} \quad (2)$$ $$\varphi_{gg}(\tau) = \overline{\left(\int_{-\infty}^{+\infty} s(t') \cdot h(t - t')dt'\right) \cdot \left(\int_{-\infty}^{+\infty}s(\color{red}{t - t'' + \tau}) \cdot h(t'')dt''\right)} \quad (3)$$ $$\varphi_{gg}(\tau) = \overline{\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t-t')s(t-t''+\tau) \cdot h(t')h(t'')dt'dt''} \quad (4)$$ $$\varphi_{gg}(\tau) = \int_{t'' = -\infty}^{+\infty} \int_{t'= -\infty}^{+\infty} \left(\underbrace{\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{t = -T}^{+T}s(t-t')s(t-t''+\tau)dt}_{\varphi_{ss}(\tau + t' - t'')}\right) \cdot h(t')h(t'')dt'dt'' \quad (5)$$ Wenn ich aber bei (5) zum Beispiel beim $\varphi_{ss}(\tau + t'-t'')$ anfangen würde, erhalte ich ja als Integral: $$\varphi_{ss}(\underbrace{\tau + t' - t''}_{\tau}) = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t)s(t + (\underbrace{\tau + t' - t''}_{\tau}))dt$$ Ist das erstmal soweit richtig und wenn ja, wie würde ich dann weiter auf den folgenden Integranden kommen: $$\lim \limits_{T \to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t-t')s(t-t''+\tau)dt$$


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-24

\quoteon(2022-02-24 18:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $$\varphi_{ss}(\tau) = \overline{s(\tau)\cdot s(t + \tau)} = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} s(t)s(t + \tau)dt$$ \quoteoff Du musst $t$ und $\tau$ besser auseinanderhalten. Der mittlere Term da oben soll sicher $\overline{s(t)\cdot s(t + \tau)}$ lauten. \quoteon(2022-02-24 18:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $$\varphi_{ss}(\underbrace{\tau + t' - t''}_{\tau}) = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t)s(t + (\underbrace{\tau + t' - t''}_{\tau}))dt$$ Ist das erstmal soweit richtig \quoteoff Ja. \quoteon(2022-02-24 18:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) und wenn ja, wie würde ich dann weiter auf den folgenden Integranden kommen: $$\lim \limits_{T \to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t-t')s(t-t''+\tau)dt$$ \quoteoff Du machst eine Substitution $\tilde t:=t+t'$, $t=\tilde t-t'$ und nennst die neue Integrationsvariable $\tilde t$ dann wieder $t$. --zippy


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Sinnfrei
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

Danke und wie kommt man auf das, was ich in rot bei (2) und (3) geschrieben habe?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-24

\quoteon(2022-02-24 18:57 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) wie kommt man auf das, was ich in rot bei (2) und (3) geschrieben habe? \quoteoff Du setzt die Definition der Faltung ein und substituierst dann. Bei (2): $t''\leftarrow-\tau+t''$ Bei (3): $t''\leftarrow t-t''$


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Sinnfrei
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

\quoteon(2022-02-24 14:17 - rlk in Beitrag No. 3) In Deinem ersten Beispiel sind die Argumente $t - \theta$ und $t + \tau - \mu$ mit der Differenz $(t + \tau - \mu) - (t - \theta) = \tau - \mu + \theta$. \quoteoff \quoteon(2022-02-24 14:17 - rlk in Beitrag No. 3) Im zweiten Beispiel steht im Integral die Konstante $s(-t')$ statt dem Signal $s(t-t')$, was nicht stimmen kann. Wenn das richtige Argument $t - t'$ ist, ergibt sich die Differenz $(t + t') - (t - t') = 2t'$. \quoteoff Ich dachte mir jetzt, ich würde mir die Formel für die KKF anschauen und diese mit den Integralen vergleichen. Die Terme der Argumente, die dann mit der Definition der KKF nicht ähnlich sind wandern dann als das Argument für die KKF. Jetzt sagst du aber, das im Argument $s(-t')$ statt der $-t'$, ein $t-t'$ sein muss. Wenn ich aber $s(t-t')$ mit der Definition der KKF vergleiche, steht in dem Zufallssignal s(t) und nicht s(t-t') und wie weiss ich, dass die Differenz aus beiden Argumenten s und h dann das Argument der KKF ergibt?


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rlk
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-02-24

Hallo Sinnfrei, die Kreuzkorrelation $\varphi_{sh}(\Delta t)$ ist doch der Schar- oder Zeitmittelwert des Produkts der beiden Signale, wobei sie gegeneinander um $\Delta t$ verschoben werden. Bei einem Zeitmittelwert wird über die Zeit $t$ gemittelt, es muss daher in den Argumenten von $s$ und $h$ die Integrationsvariable $t$ vorkommen. Wenn das Integral die Form \[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t + t_1)h(t + t_2)\,\dd t \] hat, kann man es durch die von zippy erwähnte Substitution $\tilde{t}=t+t_1, t = \tilde{t} - t_1$ zu \[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(\tilde{t})h(\tilde{t} + t_2 - t_1)\,\dd \tilde{t} \] umformen, das Du als $\varphi_{sh}(t_2 - t_1)$ erkennen solltest, auch wenn $t_1$ oder $t_2$ kompliziertere Ausdrücke sind. Das gilt für schwach stationäre Signale, die ich hier voraussetze. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-25

\quoteon(2022-02-24 22:40 - rlk in Beitrag No. 9) Hallo Sinnfrei, die Kreuzkorrelation $\varphi_{sh}(\Delta t)$ ist doch der Schar- oder Zeitmittelwert des Produkts der beiden Signale, wobei sie gegeneinander um $\Delta t$ verschoben werden. Bei einem Zeitmittelwert wird über die Zeit $t$ gemittelt, es muss daher in den Argumenten von $s$ und $h$ die Integrationsvariable $t$ vorkommen. Wenn das Integral die Form \[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(t + t_1)h(t + t_2)\,\dd t \] hat, kann man es durch die von zippy erwähnte Substitution $\tilde{t}=t+t_1, t = \tilde{t} - t_1$ zu \[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(\tilde{t})h(\tilde{t} + t_2 - t_1)\,\dd \tilde{t} \] umformen, das Du als $\varphi_{sh}(t_2 - t_1)$ erkennen solltest, auch wenn $t_1$ oder $t_2$ kompliziertere Ausdrücke sind. Das gilt für schwach stationäre Signale, die ich hier voraussetze. \quoteoff Den ersten Teil finde ich hier wichtig, das mit der Verschiebung. Jetzt so beim dritten oder vierten Anlauf leuchtet es mir auch irgendwie ein und das bei der zeitlichen Mittelung, in beiden Funktion die Variable $t$ stehen muss, macht auch irgendwie Sinn aber da hat kein t gefehlt, da es durch die Substitution so ergeben hat, dass das Argument der Funktion s(-t') wurde. Also es wird angenommen, dass das Eingangssignal $s(t)$ ein ergodisches Zufallssignal mit dem Mittelwert m ist. Für das ebenfalls zufällige Ausgangssignal $g(t)$ des LIT-Systems gilt nun: $$g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(\tau)\cdot h(t-\tau)d\tau \quad (1)$$ Für $g(t)$ kann der zeitliche Mittelwert mittels $$\overline{g(t)} = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}s(\tau)h(t-\tau)d\tau\right)dt\quad (2)$$ Tauscht man die Integrationsreihenfolge, so ergibt sich: $$\overline{g(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}s(\tau)\cdot h(t-\tau)dt\right)d\tau \quad (3)$$ Die formale Substitution $\tau = -t'$ führ dann zu: $$\overline{g(t)} = -\int_{+\infty}^{-\infty}\left(\underbrace{\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(-t')\cdot h(t+t')dt}_{Kreuzkorrelation~\varphi_{sh}(t')} \right)dt' \quad (4)$$ So steht das bei mir im Skript aber bei Ohm/Lücke (Signalübertragung) wird angenommen, dass das Eingangssignal stationär ist. Wenn ich mir den inneren Teil bei (4) anschaue, dann sieht das ja schon aus wie eine Korrelationsfunktion. Nur halt keine, die ich als einzige Funktion schreiben könnte, wie hier z.B.: also $\varphi$ sondern als Korrelationsprodukt zweier Signale $$s(-t')~\mathrm{x}~h(t')$$ Die Aussage, dass im zeitlichen Mittel ein t bei beiden vorhanden sein muss und dass das $\tau$ den zeitlichen Abstand beider Signale ergibt finde ich gut.


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rlk
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-26

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-25 00:47 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) Den ersten Teil finde ich hier wichtig, das mit der Verschiebung. Jetzt so beim dritten oder vierten Anlauf leuchtet es mir auch irgendwie ein und das bei der zeitlichen Mittelung, in beiden Funktion die Variable $t$ stehen muss, macht auch irgendwie Sinn aber da hat kein t gefehlt, da es durch die Substitution so ergeben hat, dass das Argument der Funktion s(-t') wurde. \quoteoff wenn Du akzeptierst, dass die Korrelationsfunktion der Mittelwert des Produkts zweier Signale ist, die gegeneinander verschoben sind, dann sollte doch klar sein, dass das Integral $$\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}s(\tau)\cdot h(t-\tau)\,\dd t \qquad (11.1)$$ keine Kreuzkorrelation darstellt, daran kann auch keine Substitution etwas ändern. Den gesuchten Mittelwert $\overline{g(t)}$ kannst Du aber berechnen, indem die Kommutativität der Faltung ausnützt und \[ g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot s(t - \tau)\,\dd \tau \qquad (11.2)\] verwendest. Nach dem Einsetzen und Vertauschen der Integrationsreihenfolge erhältst Du \[ \overline{g(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}h(\tau)\cdot s(t-\tau)\,\dd t \right)\,\dd \tau \qquad (11.3)\] Weil $h(\tau)$ nicht von $t$ abhängt, können wir es aus dem inneren Integral und vor die Grenzwertbildung ziehen und erhalten \[ \overline{g(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\cdot\left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} s(t-\tau)\,\dd t \right)\,\dd \tau \qquad (11.4)\] Weil das Eingangssignal stationär ist, liefert der Grenzwert unabhängig von $\tau$ den Mittelwert $\overline{s(t)}$ und das gesuchte Ergebnis ist \[ \overline{g(t)} = \overline{s(t)} \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\,\dd \tau \qquad (11.5)\] Das Integral ist ja der Wert der Übertragungsfunktion \[ H(f) = \mathcal{F} h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \exp(-2\pi i f t)\,\dd t \qquad (11.6)\] an der Stelle $f=0$, also die Gleichspannunsverstärkung des Systems mit der Impulsantwort $h$, was eine anschauliche Erklärung für $(11.5)$ liefert. \quoteon(2022-02-25 00:47 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) Die Aussage, dass im zeitlichen Mittel ein t bei beiden vorhanden sein muss und dass das $\tau$ den zeitlichen Abstand beider Signale ergibt finde ich gut. \quoteoff Danke! Ich hoffe, dass Dir ein derartiges Verständnis der Begriffe hilft, Rechenfehler zu erkennen. Servus, Roland


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-26

\quoteon(2022-02-26 21:41 - rlk in Beitrag No. 11) Weil $h(\tau)$ nicht von $t$ abhängt, können wir es aus dem inneren Integral und vor die Grenzwertbildung ziehen und erhalten \[ \overline{g(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\cdot\left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} s(t-\tau)\,\dd t \right)\,\dd \tau \qquad (11.4)\] Weil das Eingangssignal stationär ist, liefert der Grenzwert unabhängig von $\tau$ den Mittelwert $\overline{s(t)}$ und das gesuchte Ergebnis ist \[ \overline{g(t)} = \overline{s(t)} \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\,\dd \tau \qquad (11.5)\] \quoteoff Müsste es im stationären Fall nicht die Scharmittelung sein? Bei mir im Skript wird aber davon ausgegangen, dass $s(t)$ am Anfang ein ergodisches Zufallssignal ist. Ferner wird im Skript das $s(-t')$ durch einen zufälligen Wechselanteil $\tilde{s}(-t')$ mit einem Gleichanteil m ersetzt. Dann sähe die Rechnung weiter, für ergodisches Zufallssignal aus meinem Skript wie folgt aus $$\overline{g(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} (\tilde{s}(-t') + m) \cdot h(t+t') \cdot dt)\right)dt'$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\lim \limits_{T \to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \tilde{s}(-t') \cdot h(t+t')dt\right)dt' + \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\lim \limits_{T \to \infty}\frac{1}{2T} m \underbrace{\int_{-T}^{+T} h(t+t') \cdot \color{red}{e^{-j2\pi(f=0)t}}dt}_{Fourier-Integral~mit~f= 0}\right)dt'$$ Weiter steht, dass der erste Term, vor dem $+$, 0 ergibt also: $$\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2} \int_{-T}^{+T} \tilde{s}(-t')\cdot h(t+t')dt = 0$$ Wenn ich dann das Argument im h substitutiere $u = t+t'$ $$\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} m \cdot \int_{-T}^{+T} h(u') \cdot e^{-j2\pi(f=0)(t=u-t')}dt\right)dt'$$ Die Grenzen angepasst Obere Grenze $u = (T = \infty) + t' = +T$ Untere Grenze $u = -(T = \infty) + t' = -T$ Also die Grenzen bleiben so Der Exponent der e-Funktion verändert sich durch die Substitution ja nicht, er ist trotzdem Null. Darüber hinaus gilt bei Ergodizität $m = \mathcal{E}(s(t)) = \overline{s(t)}$ Als Ergebnis kommt dann da raus $$\overline{g(t)} = \overline{s(t)} \cdot H(f=0)$$ So richtig kann ich mich damit nicht anfreunde, weil da noch ein $\lim \limits_{T \to \infty}$ steht und dann wäre ja eigentlich der Mittelwert der Übertragungsfunktion H damit gemeint. Die Herleitung ist aber mehr als Fragwürdig. Bei ergodischen Zufallsvariablen ist $\overline{s(t)}$


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rlk
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Hallo Sinnfrei, wenn Du mit stationär ein stationäres, aber nichtergodisches Signal meinst, dann müsste man Schar- statt Zeitmittelwerte bilden. Servus, Roland


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Weil es ergodisch ist, muss es auch stationär sein. Die Ergodizität ist ja eine Unterklasse. Die Ergodizität setzt die Stationarität voraus. Also kann ich dann die Zufallsvariable wie eine stationäre Zufallsvariable sehen und dann aber wieder die zeitliche Mittelung mit dem Querbalken darüber. Ich dachte man kann den Index der Beobachtungswerte nur bei stationären Zufallsvariablen vernachlässigen aber nicht wenn man von einer ergodischen Zufallsvariablen anfangs ausgeht aber das setzt ja die Stationarität voraus. Ziemlich verwirrend das ganze aber ich denke ich habs jetzt. Kannst du mir noch sagen, ob die Herleitung so korrekt ist? Die Grenzwertbetrachtung im Integranden für das Fourier Integral verschwindet ja nicht. Demnach müsste da ja eigentlich der Mittelwert der Fourier-Transformierten der Stoßantwort h herauskommen.


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