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| Autor |
 Jordan- und Lebesguemessbarkeit |
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mijakubik
Junior 
Dabei seit: 04.11.2019
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2022-02-24
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Hallo ihr lieben!
Ich bin zur Zeit am Lernen für meine Analysis 3 Klausur. Der Schwerpunkt ist das Lebesguemaß inkl. Lebesguemessbarer Mengen und Funktionen. Lebesguemessbarkeit habe ich soweit verstanden, aber ich habe (vorallem bei der Jordanmessbarkeit) Probleme mir vorzustellen, wie eine Überdeckung einer Menge durch *endlich* viele Quader aussehen soll.
Ich habe mir das Ganze wie folgt vorgestellt (Beispielhaft im IR^2, Approximation von innen)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52155_Durch_Quadrate_Abgedeckte_Menge.png
Allerdings würde die Überdeckung von außen mit der von innen (bei einer endlich Anzahl von Quadern) im IR^2 nur bei Mengen übereinstimmen, die man als n-Eck mit ausschließlich rechten Winkeln darstellen kann. Stimmt meine Annahme? Wenn ja, heißt dass, dass (im IR^2) nur n-Ecke mit rechten Winkeln einen Jordaninhalt besitzen? Wenn nein, kann mir jemand erklären, wie ich mit den (inneren/äußeren) Jordaninhalt einer Menge bildlich vorstellen kann?
Vielen Dank im Voraus!🙂
Liebe Grüße, Michelle
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4330
Wohnort: Raun
|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-27
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Hallo Michelle,
als Definition verwende ich die von Wikipedia Jordan-Maß.
\quoteon(2022-02-24 13:03 - mijakubik im Themenstart)
Allerdings würde die Überdeckung von außen mit der von innen (bei einer endlich Anzahl von Quadern) im IR^2 nur bei Mengen übereinstimmen, die man als n-Eck mit ausschließlich rechten Winkeln darstellen kann. Stimmt meine Annahme?
\quoteoff
Ja.
\quoteon
Wenn ja, heißt dass, dass (im IR^2) nur n-Ecke mit rechten Winkeln einen Jordaninhalt besitzen?
\quoteoff
Jetzt nein, denn der innere und äußere Inhalt ist das Supremum beziehungsweise Infimum aller möglichen Überdeckungen und das Infimum einer Menge kann gleich dem Supremum einer anderen Menge sein, obwohl kein Element der einen Menge gleich einem Element der anderen Menge ist. Beispiel: Die beiden Mengen {0.9, 0.99, 0,999, 0.9999, ...} und {1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ...} enthalten keine gleichen Elemente, das Supremum der ersten Menge ist aber gleich dem Infimum der zweiten Menge.
\quoteon
Wenn nein, kann mir jemand erklären, wie ich mit den (inneren/äußeren) Jordaninhalt einer Menge bildlich vorstellen kann?
\quoteoff
Ein Kreis beispielsweise lässt sich innen mit immer kleiner werdenden Rechtecken beliebig genau füllen. Das Supremum dieser möglichen Füllungen ist dann der innere Jordaninhalt. Der Kreis lässt sich auch mit immer kleiner werdenden Rechtecken beliebig genau überdecken. Das Infimum dieser möglichen Überdeckungen ist der äußere Jordaninhalt. Infimum und Supremum sind gleich (was bewiesen werden muss/musste) und definieren den Flächeninhalt des Kreises.
Viele Grüße,
Stefan
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