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Analysis » Maßtheorie » Integrationstheorie, Maßtheorie
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Universität/Hochschule Integrationstheorie, Maßtheorie
KaSt
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Dabei seit: 18.02.2022
Mitteilungen: 26
  Themenstart: 2022-02-28

Habe noch eine weitere Frage: Es sei $ \mu: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch $\mu(A):= \# ( \mathbb{N} \cap A)$ für $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, d.h $ \mu(A)$ ist die Anzahl der natürlichen Zahlen die auch in $A$ liegen. (a) Zeigen sie $\mu$ ist ein Maß. (b) Ist $\mu$ auch ein äußeres Maß ? (c) Begründen sie für die Gaußklammerfunktion $f(x)= [x]= \max \{n \in \mathbb{Z}: n \le x \}, x \in \mathbb{R}$ die existenz des Integrals $\int\limits_{\mathbb{R}} f d \mu $ und bestimmen die dieses. (a) habe ich ohne Probleme zeigen können. (b) konnte ich mit ja beantworten. (c) weiß ich nicht weiter. Ich denke man muss den Maßtheoretischen Dreischritt nehmen, der aber leider bei mir Scheitert, da mir nicht genau klar ist wohin ich muss, also was das Integral am Ende sein muss.

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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-01

Moin KaSt, \quoteon(2022-02-28 01:51 - KaSt im Themenstart) (c) weiß ich nicht weiter. Ich denke man muss den Maßtheoretischen Dreischritt nehmen, der aber leider bei mir Scheitert, da mir nicht genau klar ist wohin ich muss, also was das Integral am Ende sein muss. \quoteoff Um die Existenz zu zeigen, musst du nachweisen, dass \[\min\left(\int f^+ d\mu, \int f^- d\mu\right) < \infty\] gilt. Den Wert des Integrals bekommst du dann als \[\int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu.\] Dabei ist wie üblich $f^+ := \max(f,0)$ bzw. $f^- := \max(-f,0)$ der Positiv- bzw. Negativteil von $f$. Überlege dir, dass \[f^+ = \sum_{n = 1}^{\infty} n \, 1_{[n,n+1)}, \quad f^- = \sum_{n = 1}^{\infty} n \, 1_{[-n,-n+1)}\] gilt und verwende zur Berechnung der Integrale dieser Funktionen den Satz von der monotonen Konvergenz. LG, semasch

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