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| Autor |
  Polynom f mit f(ℝ) ⊆ ℝ hat nur reelle Koeffizienten |
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iuhqdwiu2
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.03.2022
Mitteilungen: 82
 |  Themenstart: 2022-03-06
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55428_kuck.png
Warum sollte f(R) Teilmenge von R sein, wenn meine Funktion von f:C-->C definiert ist.
Beispiel:
ich habe die Funktion f(x)=ix gegeben.
i ist die komplexe Zahl i, also die komplexen Zahlen sind ja definiert als z=a+bi, a=Realteil und b=Imaginärteil und i ist die Wurzel von -1.
Da i^2=-1 ist.
Wenn ich nun f(x)=ix habe und ich setze für x jetzt eine reele Zahl ein, z. B. 1
f(1)=i*1
f(1)=i
warum sollte jetzt i eine Teilmenge von R sein, wie ich das hier:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55428_asddsa.png
beweisen soll? i ist doch gar nicht in den Reelenzahlen definiert?
Ist das vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung?
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2620
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-06
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hier wird offenbar $\mathbb R$ als Teilmenge von $\mathbb C$ durch die Identifikation $a+0\i\cong a$ betrachtet.
$f(\mathbb R)\subseteq \mathbb R$ bedeutet dann einfach, dass $f(x)\in \mathbb R$ gilt, wenn $x\in \mathbb R$ gilt.
Dein "Gegenbeispiel" zeigt auch nicht einen Fehler in der Aufgabenstellung. Du sollst zeigen, dass $f(\mathbb R)\subseteq \mathbb R$ dann und nur dann gilt, wenn alle Koeffizienten von $f$ reell sind. Tatsächlich bestätigt dein Beispiel eher die Aufgabenstellung.
LG Nico\(\endgroup\)
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Triceratops
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2022-03-06
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Allgemeiner gilt: Sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung, wobei $K$ unendlich sei. Für eine polynomielle Funktion $ f : L \to L$ gilt genau dann $f(K) \subseteq K$, wenn alle Koeffizienten von $f$ in $K$ liegen.
Wenn $K$ endlich ist, gilt das zumindest wenn $K$ mehr als $\deg(f)$ Elemente hat.
Tipp: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation
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iuhqdwiu2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
iuhqdwiu2 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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