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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Siebeigenschaft des Dirac-Impulses
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Universität/Hochschule J Siebeigenschaft des Dirac-Impulses
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-03-10

$$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\quad (1)$$ $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)s(t-\tau)d\tau\quad (2)$$ Jetzt steht im Text, dass man anhand der beiden Faltungsintegrale $(1)$ und $(2)$ die Bedeutung eines Zeitsiebs erkennt. Weiter steht dann, dass als Ergebnis der Integration ein diskreter Wert der Funktion $s(\tau)$ mit dem Argument $\tau_0$, für das das Argument des Dirac-Impulses Null ist. Frage: Wurde aus dem $\tau$ in dem Integrand jetzt ein $\tau_0$ oder wie kann man sich das mit dem $\tau_0$ vorstellen und aus den beiden Faltungsintegralen, kann ich kein Zeitsieb erkennen.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-10

Hallo Sinnfrei, wie sieht denn ein Zeitsieb nach Deiner Vorstellung aus? Die Integrationsvariable $\tau$ durchläuft ja alle reellen Werte, $\tau_0$ ist derjenige davon, bei dem das Argument von $\delta$ Null ist. Welchen Wert hat $\tau_0$ für das Integral in $(2)$? Und welchen hat er in $(1)$? Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-10

Ich denke daran, dass ich die Funktion/Eingangssignal $s$ aus dem Integranden ziehen kann, sodass das Integral dann folgende Form hat $$s(t) = s(t)\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau) d\tau}_{=1}$$ Dabei darf das Argument von $s(\tau)$ aus dem Integranden ja nicht von $\tau$ abhängen oder?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-10

Hallo Sinnfrei, nein, das ist nur ein Sonderfall, in dem die Siebeigenschaft nicht gut sichtbar ist. Es geht darum, dass $\delta$ einen Funktionswert aussiebt und alle anderen ignoriert. Für eine bei $t=0$ stetige Funktion $f$ und $a < 0 < b$ gilt \[ \int_a^b f(t) \delta(t)\,\dd t = f(0). \] Welche Antworten ergeben sich daraus auf meine zweite und dritte Frage in in Beitrag 1? In https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257629&post_id=1872111 verwendest Du die Eigenschaft $\delta \star h=h$, warum wendest Du sie nicht auf die Integrale in $(1)$ und $(2)$ an? Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-12

\quoteon(2022-03-10 09:04 - rlk in Beitrag No. 1) Welchen Wert hat $\tau_0$ für das Integral in $(2)$? Und welchen hat er in $(1)$? \quoteoff Also wenn ich $\tau_0 = t$ in (1) einsetze, dann ist das Argument der $\delta$ Distribution in dem Integral $0$ und das Ergebnis des Integrals, wäre dann dieses $\tau_0$ was das Argument der Dirac Distribution, in dem Integral zu $0$ gemacht hat. Also dann Bei $(1)$: $\tau_0 = t$ $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = s(\underbrace{\tau_0}_{=t})$$ Bei $(2)$: $\tau_0 = 0$ $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)s(t-\tau)d\tau = s(t-\underbrace{\tau_0}_{=0})$$ Aus dem Text wusste ich jetzt nicht, ob das Integral dann noch bestehen bleibt, wenn der Dirac das Argument $0$ hat aber das Integral ja im klassischen Sinne der Analysis noch bestehen sollte. Für die $\delta$ Distribution gilt dann nur, dass man es direkt auswerten muss, ohne das Integral zu bestimmen. Da habe ich dann noch eine Frage: Wie kann das Ergebnis des Eingangssignal das Argument an der Stelle $\tau_0$ sein, wenn der Dirac so definiert ist, dass er unendlich ist, wenn sein Argument $0$ ist? Da komme ich mit der Definition des Dirac's durcheinander. Auf der einen Seite ist der Dirac ja unendlich für $\delta(0)$ aber bei der Siebeigenschaft muss der $\delta$ das Argument $0$ haben, damit es dem Ergebnis an dieser Stelle entspricht. Im zeitdiskreten ist der Dirac ja einfach $1$, wenn sein Argument $0$ ist. Da versteht man es ja direkt aus der Definition. \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-12

Hallo Sinnfrei, Deine Überlegungen zu den Werten von $\tau_0$ sind richtig und Du hast ja auch die behaupteten Ergebnisse erhalten. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Aus dem Text wusste ich jetzt nicht, ob das Integral dann noch bestehen bleibt, wenn der Dirac das Argument $0$ hat aber das Integral ja im klassischen Sinne der Analysis noch bestehen sollte. \quoteoff Welchen Text meinst Du hier? Die Delta-Funktion ist keine Funktion im klassischen Sinn, daher kann man das Integral auch nicht klassisch berechnen. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Für die $\delta$ Distribution gilt dann nur, dass man es direkt auswerten muss, ohne das Integral zu bestimmen. Da habe ich dann noch eine Frage: Wie kann das Ergebnis des Eingangssignal das Argument an der Stelle $\tau_0$ sein, wenn der Dirac so definiert ist, dass er unendlich ist, wenn sein Argument $0$ ist? Da komme ich mit der Definition des Dirac's durcheinander. \quoteoff Welche Definition verwendet ihr? \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Auf der einen Seite ist der Dirac ja unendlich für $\delta(0)$ aber bei der Siebeigenschaft muss der $\delta$ das Argument $0$ haben, damit es dem Ergebnis an dieser Stelle entspricht. \quoteoff Das klingt so, als wenn Du einen Widerspruch sehen würdest. Vielleicht hilft es, wenn Du $\delta(t)$ als Grenzwert $n \to \infty$ der Funktionenfolge \[ \delta_n(t) = \cases{n, \quad -\frac{1}{2n} < t < \frac{1}{2n} \\ 0, \quad |t| \geq \frac{1}{2n}} \] betrachtest. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Im zeitdiskreten ist der Dirac ja einfach $1$, wenn sein Argument $0$ ist. Da versteht man es ja direkt aus der Definition. \quoteoff Im zeitdiskreten Fall ist die Faltung eine Summe und das neutrale Element der Faltung, $\delta[n]$ ist leichter zu verstehen als im zeitkontinuierlichen Fall. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in Beitrag No. 3) In https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257629&post_id=1872111 verwendest Du die Eigenschaft $\delta \star h=h$, warum wendest Du sie nicht auf die Integrale in $(1)$ und $(2)$ an? \quoteoff Wo genau, also in welcher Zeile, soll das dort gewesen sein? \quoteoff Hier, die entscheidende Textstelle habe ich markiert: \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Für die KKF erhalte ich dann $$\varphi_{ng}(t) = \varphi_{nn}(t) \star h(t)$$ $$= N_0 \delta(t) \star 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ gefaltet fällt der Dirac nur weg und wird dann zu einer Konstanten 1 weil die t's in den Argumenten mit $-0$ verschoben würden, lässt man die ja weg. \quoteoff Die Siebeigenschaft und die Tatsache, dass $\delta$ das neutrale Element der Faltung ist sind äquivalente Aussagen. Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-12

\quoteon(2022-03-12 19:41 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, Deine Überlegungen zu den Werten von $\tau_0$ sind richtig und Du hast ja auch die behaupteten Ergebnisse erhalten. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Aus dem Text wusste ich jetzt nicht, ob das Integral dann noch bestehen bleibt, wenn der Dirac das Argument $0$ hat aber das Integral ja im klassischen Sinne der Analysis noch bestehen sollte. \quoteoff Welchen Text meinst Du hier? Die Delta-Funktion ist keine Funktion im klassischen Sinn, daher kann man das Integral auch nicht klassisch berechnen. \quoteoff Den Text aus dem Themenstart direkt unter den beiden Formeln \quoteon \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Für die $\delta$ Distribution gilt dann nur, dass man es direkt auswerten muss, ohne das Integral zu bestimmen. Da habe ich dann noch eine Frage: Wie kann das Ergebnis des Eingangssignal das Argument an der Stelle $\tau_0$ sein, wenn der Dirac so definiert ist, dass er unendlich ist, wenn sein Argument $0$ ist? Da komme ich mit der Definition des Dirac's durcheinander. \quoteoff Welche Definition verwendet ihr? \quoteoff $$\delta(t) = \begin{cases} 0 & t \neq 0 \\ nicht~definiert & t = 0 \\ \end{cases}$$ sowie $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$$ \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Auf der einen Seite ist der Dirac ja unendlich für $\delta(0)$ aber bei der Siebeigenschaft muss der $\delta$ das Argument $0$ haben, damit es dem Ergebnis an dieser Stelle entspricht. \quoteon Das klingt so, als wenn Du einen Widerspruch sehen würdest. Vielleicht hilft es, wenn Du $\delta(t)$ als Grenzwert $n \to \infty$ der Funktionenfolge \[ \delta_n(t) = \cases{n, \quad -\frac{1}{2n} < t < \frac{1}{2n} \\ 0, \quad |t| \geq \frac{1}{2n}} \] betrachtest. \quoteoff \quoteoff Das verstehe ich nicht. Soll das auf ein Rechteck hinausgehen, der immer schmaller mit steigendem n wird, das kann ja nicht sein oder? Was bedeutet der Index $n$ neben dem Dirac? \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Im zeitdiskreten ist der Dirac ja einfach $1$, wenn sein Argument $0$ ist. Da versteht man es ja direkt aus der Definition. \quoteon Im zeitdiskreten Fall ist die Faltung eine Summe und das neutrale Element der Faltung, $\delta[n]$ ist leichter zu verstehen als im zeitkontinuierlichen Fall. \quoteoff \quoteoff Man kann doch das Riemann-Integral in die Riemann-Summe überführen aber das klappt ja mit einer Distribution nicht. Dachte man würde dann auf die selbe Definition, im zeitkontinuierlichen wie im zeitdiskreten kommen. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in Beitrag No. 3) In https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257629&post_id=1872111 verwendest Du die Eigenschaft $\delta \star h=h$, warum wendest Du sie nicht auf die Integrale in $(1)$ und $(2)$ an? \quoteoff Wo genau, also in welcher Zeile, soll das dort gewesen sein? \quoteoff Hier, die entscheidende Textstelle habe ich markiert: \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Für die KKF erhalte ich dann $$\varphi_{ng}(t) = \varphi_{nn}(t) \star h(t)$$ $$= N_0 \delta(t) \star 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ gefaltet fällt der Dirac nur weg und wird dann zu einer Konstanten 1 weil die t's in den Argumenten mit $-0$ verschoben würden, lässt man die ja weg. \quoteon Die Siebeigenschaft und die Tatsache, dass $\delta$ das neutrale Element der Faltung ist sind äquivalente Aussagen. \quoteoff\quoteoff Achso ja, da hatte ich es intuitiv gemacht, weil es für mich klar war und auch in Videos das so erklärt wird. Also das damit der Wert an der Stelle gemeint ist, wo der Dirac ins unendliche geht. Jetzt bin ich jedoch auf diese Textstelle gestoßen und war bei der Bedeutung des $\tau_0$ verwirrt. Also ist mit $\tau_0$ gemeint, dass es ein bestimmtes $\tau$ ist, der mit seinem Index $0$ andeutet, dass das Argument der Dirac Distribution zu Null werden lassen soll. Mich verwirrt halt, dass zum einen die Definition, dass der Dirac nicht definiert oder unendlich ist, wenn sein Argument Null ist aber bei der Siebeigenschaft das Argument des Dirac Null werden muss, um dann den Wert des Signals an der Stelle zu erhalten, wo das Argument des Dirac's Null wird. Bei der Siebeigenschaft müsste der Dirac eigentlich doch auch unendlich oder nicht definiert sein, wenn sein Argument Null wird und das verstehe ich halt nicht. Dann habe ich da noch eine Frage, wie kommt man darauf das $$s(0)g(t) = [s(0)\delta(t)] \star g(t)$$ ist. Müsste nicht $s(0)g(t)$ mit $\delta(t)$ gefaltet werden, da ja $\delta$ das Einselement der Faltungsalgebra ist? Also $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star\delta(t)$$ Edit: Für die Bildung des Faltungsprodukts in Kombination mit anderen Rechenoperationen (z.B. Multiplikation zeitabhängiger Signale), besteht keine verbindliche Reihenfolge. Daher kann man dann zwischen einer Multiplikation und der Faltung, die Faktoren hin und her tauschen. Man kann dass dann mit einer Klammer kenntlich machen, was multipliziert und was gefaltet wird. Dann wären folgende Reihenfolgen nach dem Assoziativgesetz möglich oder? $$s(0)g(t) = \delta(t)\star [s(0)g(t)]$$ $$s(0)g(t) = [\delta(t)g(t)]\star s(0)$$ Aber wenn ich das Faltungsintegral von $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t)$$ aufschreibe und das Ergebnis bestimme, komme ich auf $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(0)g(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = s(t)g(t) = [s(t)\delta(t)]\star g(t)$$ Ziemlich verwirrend, weiss auch nicht für was das gut sein soll, dass folgendes gilt $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t)$$


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-14

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-12 19:41 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, Deine Überlegungen zu den Werten von $\tau_0$ sind richtig und Du hast ja auch die behaupteten Ergebnisse erhalten. \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Aus dem Text wusste ich jetzt nicht, ob das Integral dann noch bestehen bleibt, wenn der Dirac das Argument $0$ hat aber das Integral ja im klassischen Sinne der Analysis noch bestehen sollte. \quoteoff Welchen Text meinst Du hier? Die Delta-Funktion ist keine Funktion im klassischen Sinn, daher kann man das Integral auch nicht klassisch berechnen. \quoteoff Den Text aus dem Themenstart direkt unter den beiden Formeln \quoteoff Hier noch einmal der Text: \quoteon(2022-03-10 03:06 - Sinnfrei im Themenstart) Jetzt steht im Text, dass man anhand der beiden Faltungsintegrale $(1)$ und $(2)$ die Bedeutung eines Zeitsiebs erkennt. Weiter steht dann, dass als Ergebnis der Integration ein diskreter Wert der Funktion $s(\tau)$ mit dem Argument $\tau_0$, für das das Argument des Dirac-Impulses Null ist. \quoteoff Da steht doch, dass das Ergebnis der Integration ein Funktionswert $s(\tau_0)$ ist, wie kommst Du darauf, dass das Integral noch bestehen bleiben sollte? \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-12 19:41 - rlk in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Für die $\delta$ Distribution gilt dann nur, dass man es direkt auswerten muss, ohne das Integral zu bestimmen. Da habe ich dann noch eine Frage: Wie kann das Ergebnis des Eingangssignal das Argument an der Stelle $\tau_0$ sein, wenn der Dirac so definiert ist, dass er unendlich ist, wenn sein Argument $0$ ist? Da komme ich mit der Definition des Dirac's durcheinander. \quoteoff Welche Definition verwendet ihr? \quoteoff $$\delta(t) = \begin{cases} 0 & t \neq 0 \\ nicht~definiert & t = 0 \\ \end{cases} \qquad(7.1)$$ sowie $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1 \qquad(7.2)$$ \quoteoff Diese sind nicht gut, mit $(7.1)$ kann man nicht rechnen und $(7.2)$ ist nur ein Spezialfall der Siebeigenschaft, die ich in Beitrag 3 aufgeschrieben habe. Aber Du siehst an $(7.1)$ zumindest, dass bei der Stelle $t=0$, also wenn das Argument von $\delta$ Null ist, etwas interessantes passiert. \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Auf der einen Seite ist der Dirac ja unendlich für $\delta(0)$ aber bei der Siebeigenschaft muss der $\delta$ das Argument $0$ haben, damit es dem Ergebnis an dieser Stelle entspricht. \quoteon(2022-03-12 19:41 - rlk in Beitrag No. 5) Das klingt so, als wenn Du einen Widerspruch sehen würdest. Vielleicht hilft es, wenn Du $\delta(t)$ als Grenzwert $n \to \infty$ der Funktionenfolge \[ \delta_n(t) = \cases{n, \quad -\frac{1}{2n} < t < \frac{1}{2n} \\ 0, \quad |t| \geq \frac{1}{2n}} \] betrachtest. \quoteoff \quoteoff Das verstehe ich nicht. Soll das auf ein Rechteck hinausgehen, der immer schmaller mit steigendem n wird, das kann ja nicht sein oder? Was bedeutet der Index $n$ neben dem Dirac? \quoteoff Ja genau. Die Funktionen $\delta_n$ für $n\in\{1,2,\ldots \}$ sind Rechteckimpulse, die alle $(7.2)$ erfüllen. Betrachtet man Integrale \[ I_n = \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta_n(t)\,\dd t \] dann liefern die ja den Mittelwert der Funktion $f$ über das Intervall $[-\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]$, die für $n\to \infty$ gegen $f(0)$ konvergieren. \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Im zeitdiskreten ist der Dirac ja einfach $1$, wenn sein Argument $0$ ist. Da versteht man es ja direkt aus der Definition. \quoteon Im zeitdiskreten Fall ist die Faltung eine Summe und das neutrale Element der Faltung, $\delta[n]$ ist leichter zu verstehen als im zeitkontinuierlichen Fall. \quoteoff \quoteoff Man kann doch das Riemann-Integral in die Riemann-Summe überführen aber das klappt ja mit einer Distribution nicht. Dachte man würde dann auf die selbe Definition, im zeitkontinuierlichen wie im zeitdiskreten kommen. \quoteoff Ich hoffe, dass die Folge $\delta_n$ klar macht, warum im zeitkontinuierlichen Fall ein unendlich hoher Impuls notwendig ist, um die Siebeigenschaft zu erhalten. \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-12 19:41 - rlk in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-03-12 18:03 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in Beitrag No. 3) In https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257629&post_id=1872111 verwendest Du die Eigenschaft $\delta \star h=h$, warum wendest Du sie nicht auf die Integrale in $(1)$ und $(2)$ an? \quoteoff Wo genau, also in welcher Zeile, soll das dort gewesen sein? \quoteoff Hier, die entscheidende Textstelle habe ich markiert: \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Für die KKF erhalte ich dann $$\varphi_{ng}(t) = \varphi_{nn}(t) \star h(t)$$ $$= N_0 \delta(t) \star 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ gefaltet fällt der Dirac nur weg und wird dann zu einer Konstanten 1 weil die t's in den Argumenten mit $-0$ verschoben würden, lässt man die ja weg. \quoteon Die Siebeigenschaft und die Tatsache, dass $\delta$ das neutrale Element der Faltung ist sind äquivalente Aussagen. \quoteoff \quoteoff \quoteoff Achso ja, da hatte ich es intuitiv gemacht, weil es für mich klar war und auch in Videos das so erklärt wird. Also das damit der Wert an der Stelle gemeint ist, wo der Dirac ins unendliche geht. Jetzt bin ich jedoch auf diese Textstelle gestoßen und war bei der Bedeutung des $\tau_0$ verwirrt. Also ist mit $\tau_0$ gemeint, dass es ein bestimmtes $\tau$ ist, der mit seinem Index $0$ andeutet, dass das Argument der Dirac Distribution zu Null werden lassen soll. Mich verwirrt halt, dass zum einen die Definition, dass der Dirac nicht definiert oder unendlich ist, wenn sein Argument Null ist aber bei der Siebeigenschaft das Argument des Dirac Null werden muss, um dann den Wert des Signals an der Stelle zu erhalten, wo das Argument des Dirac's Null wird. Bei der Siebeigenschaft müsste der Dirac eigentlich doch auch unendlich oder nicht definiert sein, wenn sein Argument Null wird und das verstehe ich halt nicht. \quoteoff Du musst das Argument, den Wert von $\delta$ und den Wert des Faltungsintegrals auseinanderhalten. Zu der letzten Frage werde ich später noch etwas schreiben. Servus, Roland


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Hallo Sinnfrei, woher kommt die Gleichung? \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Dann habe ich da noch eine Frage, wie kommt man darauf das $$s(0)g(t) = [s(0)\delta(t)] \star g(t)$$ ist. Müsste nicht $s(0)g(t)$ mit $\delta(t)$ gefaltet werden, da ja $\delta$ das Einselement der Faltungsalgebra ist? Also $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star\delta(t)$$ Edit: Für die Bildung des Faltungsprodukts in Kombination mit anderen Rechenoperationen (z.B. Multiplikation zeitabhängiger Signale), besteht keine verbindliche Reihenfolge. Daher kann man dann zwischen einer Multiplikation und der Faltung, die Faktoren hin und her tauschen. Man kann dass dann mit einer Klammer kenntlich machen, was multipliziert und was gefaltet wird. Dann wären folgende Reihenfolgen nach dem Assoziativgesetz möglich oder? $$s(0)g(t) = \delta(t)\star [s(0)g(t)]$$ $$s(0)g(t) = [\delta(t)g(t)]\star s(0)$$ \quoteoff Die letze Gleichung ist falsch, was soll die Faltung mit einer Kontanten bedeuten? Die Faltung ist bilinear, daher gilt für $a,b\in\IR$ \[ a f(t) \star b g(t) = ab \left(f(t) \star g(t)\right) \] Dabei wurde das Assoziativgesetz der Multiplikation verwendet. \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Aber wenn ich das Faltungsintegral von $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t)$$ aufschreibe und das Ergebnis bestimme, komme ich auf $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(0)g(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \stackrel{A}{=} s(t)g(t) = [s(t)\delta(t)]\star g(t) \qquad(8.1)$$ \quoteoff Die Gleichung $A$ ist falsch. \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Ziemlich verwirrend, weiss auch nicht für was das gut sein soll, dass folgendes gilt $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t) \qquad(8.2)$$ \quoteoff Diese Gleichung ist richtig, folgt aber nicht aus $(8.1)$. Was willst Du zeigen oder verstehen? Servus, Roland


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15

\quoteon(2022-03-14 23:05 - rlk in Beitrag No. 8) Hallo Sinnfrei, woher kommt die Gleichung? \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Dann habe ich da noch eine Frage, wie kommt man darauf das $$s(0)g(t) = [s(0)\delta(t)] \star g(t)$$ ist. Müsste nicht $s(0)g(t)$ mit $\delta(t)$ gefaltet werden, da ja $\delta$ das Einselement der Faltungsalgebra ist? Also $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star\delta(t)$$ Edit: Für die Bildung des Faltungsprodukts in Kombination mit anderen Rechenoperationen (z.B. Multiplikation zeitabhängiger Signale), besteht keine verbindliche Reihenfolge. Daher kann man dann zwischen einer Multiplikation und der Faltung, die Faktoren hin und her tauschen. Man kann dass dann mit einer Klammer kenntlich machen, was multipliziert und was gefaltet wird. Dann wären folgende Reihenfolgen nach dem Assoziativgesetz möglich oder? $$s(0)g(t) = \delta(t)\star [s(0)g(t)]$$ $$s(0)g(t) = [\delta(t)g(t)]\star s(0)$$ \quoteoff \quoteoff Aus dem folgenden Text aus Ohm/Lücke: "Verallgemeinert lässt sich die Siebeigenschaft des Dirac-Impulses auch in Form eines Produktes des Dirac-Impulses mit einem Signal $s(t)$ definieren. Hierzu wird zunächst das Faltungsprodukt von $s(t)\cdot\delta(t)$ mit einem beliebigen Signal $g(t)$ gebildet also $[s(t)\delta(t)]\star g(t) = s(0)g(t)$" \quoteon Die letze Gleichung ist falsch, was soll die Faltung mit einer Kontanten bedeuten? Die Faltung ist bilinear, daher gilt für $a,b\in\IR$ \[ a f(t) \star b g(t) = ab \left(f(t) \star g(t)\right) \] Dabei wurde das Assoziativgesetz der Multiplikation verwendet. \quoteoff Achso, da hatte ich nicht daran gedacht, dass durch das Ergebnis des Faltungsintegrals, die zeitabhängige Variable $t$ nur noch an der Stelle $t = 0$, ein konstanter Wert des Signals $s(0)$ ausgegeben wird, dahher ist es auch unabhängig von der Integrationskonstante $\tau$ und $s(0)$ kommt dann als Faktor vor das Faltungsintegral. \quoteon(2022-03-14 23:05 - rlk in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Aber wenn ich das Faltungsintegral von $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t)$$ aufschreibe und das Ergebnis bestimme, komme ich auf $$s(0)g(t) = [s(0)g(t)]\star \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(0)g(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \stackrel{A}{=} s(t)g(t) = [s(t)\delta(t)]\star g(t) \qquad(8.1)$$ \quoteoff Die Gleichung $A$ ist falsch. \quoteoff Nochmal für $[s(0)g(t)]\star\delta(t)$ $$\int_{-\infty}^{\infty}[s(0)g(\tau)]\delta(t-\tau)d\tau = s(0)\int_{-\infty}^{\infty}g(\underbrace{\tau_0}_{=t})\delta(t-\underbrace{\tau_0}_{= t})d\tau = s(0)g(\underbrace{\tau_0}_{=t})$$ \quoteon(2022-03-14 23:05 - rlk in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-12 22:14 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Ziemlich verwirrend, weiss auch nicht für was das gut sein soll, dass folgendes gilt $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t) \qquad(8.2)$$ \quoteoff Diese Gleichung ist richtig, folgt aber nicht aus $(8.1)$. Was willst Du zeigen oder verstehen? \quoteoff Es soll gezeigt werden, dass $$[s(t)\delta(t)]\star g(t) = [s(0)\delta(t)]\star g(t)$$ Und dann kommt mittels Vergleich heraus, dass $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t) \qquad (9)$$ (Frage: Meint man mit Vergleich, einen Koeffizientenvergleich? Also das man sich den Faktor vor $g(t)$ auf beiden Seiten anschaut?) ist und allgemein betrachtet, wäre es dann $$s(t)\delta(t-T) = s(T)\delta(t-T)$$ Wie kommt man denn darauf, dass $s(0)$ zu $s(T)$ wird, wurde denn nicht einfach die Delta Distribution um $-T$ nach rechts verschoben? \quoteon(2022-03-14 18:41 - rlk in Beitrag No. 7) Betrachtet man Integrale \[ I_n = \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta_n(t)\,\dd t \] dann liefern die ja den Mittelwert der Funktion $f$ über das Intervall $[-\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]$, die für $n\to \infty$ gegen $f(0)$ konvergieren. \quoteoff Das mit dem Mittelwert verstehe ich nicht, also in welchem Zusammenhang betrachtet man das. Das Integral der jeweiligen Rechtecke muss doch immer $1$ sein und warum man für die Siebeigenschaft einen Impuls der unendlich hoch ist braucht. Ich kann es aber anwenden.


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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-18

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-03-14 23:05 - rlk in Beitrag No. 8) woher kommt die Gleichung? \quoteoff Aus dem folgenden Text aus Ohm/Lücke: "Verallgemeinert lässt sich die Siebeigenschaft des Dirac-Impulses auch in Form eines Produktes des Dirac-Impulses mit einem Signal $s(t)$ definieren. Hierzu wird zunächst das Faltungsprodukt von $s(t)\cdot\delta(t)$ mit einem beliebigen Signal $g(t)$ gebildet also $[s(t)\delta(t)]\star g(t) = s(0)g(t)$" \quoteon Die Faltung ist bilinear, daher gilt für $a,b\in\IR$ \[ a f(t) \star b g(t) = ab \left(f(t) \star g(t)\right) \] Dabei wurde das Assoziativgesetz der Multiplikation verwendet. \quoteoff Achso, da hatte ich nicht daran gedacht, dass durch das Ergebnis des Faltungsintegrals, die zeitabhängige Variable $t$ nur noch an der Stelle $t = 0$, ein konstanter Wert des Signals $s(0)$ ausgegeben wird, dahher ist es auch unabhängig von der Integrationskonstante $\tau$ und $s(0)$ kommt dann als Faktor vor das Faltungsintegral. \quoteoff Du meinst hoffentlich die Integrationsvariable $\tau$, bei bestimmten Integralen gibt es keine Integrationskonstanten. \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) Es soll gezeigt werden, dass $$[s(t)\delta(t)]\star g(t) = [s(0)\delta(t)]\star g(t)$$ Und dann kommt mittels Vergleich heraus, dass $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t) \qquad (9)$$ (Frage: Meint man mit Vergleich, einen Koeffizientenvergleich? Also das man sich den Faktor vor $g(t)$ auf beiden Seiten anschaut?) \quoteoff Ja, es ist ähnlich wie bei einem Koeffizientenvergleich, die beliebige Funktion $g$ spielt hier die Rolle der Monome. \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) ist und allgemein betrachtet, wäre es dann $$s(t)\delta(t-T) = s(T)\delta(t-T)$$ Wie kommt man denn darauf, dass $s(0)$ zu $s(T)$ wird, wurde denn nicht einfach die Delta Distribution um $-T$ nach rechts verschoben? \quoteoff Der Dirac-Impuls wird um $T$ nach rechts verschoben, liegt also bei $t=T$ (eine Verschiebung um $-T$ nach rechts wäre ja eine um $T$ nach links). Es wird daher der Wert $s(T)$ abgetastet. Das kannst Du ja leicht nachrechnen: \[ s(t)\delta(t-T) \star g(t) = \int_{-\infty}^\infty s(\tau)\delta(\tau-T)g(t-\tau)\,\dd\tau \stackrel{\tau'=\tau-T}{=} \int_{-\infty}^\infty s(\tau'+T)\delta(\tau')g(t-\tau'-T)\,\dd\tau' = s(T)g(t-T) \] Die rechte Seite kannst Du auch als $s(T)\delta(t-T)\star g(t)$ schreiben und erhältst so die gesuchte Gleichung. Mit etwas Übung kann man die Substitution $\tau'=\tau-T$ im Kopf machen und den Wert des Integrals als den Funktionswert des Integranden ohne $\delta$ an der Stelle, an der das Argument von $\delta$ Null wird (die wir früher $\tau_0$ genannt haben) angeben. \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-03-14 18:41 - rlk in Beitrag No. 7) Betrachtet man Integrale \[ I_n = \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta_n(t)\,\dd t \] dann liefern die ja den Mittelwert der Funktion $f$ über das Intervall $[-\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]$, die für $n\to \infty$ gegen $f(0)$ konvergieren. \quoteoff Das mit dem Mittelwert verstehe ich nicht, also in welchem Zusammenhang betrachtet man das. Das Integral der jeweiligen Rechtecke muss doch immer $1$ sein und warum man für die Siebeigenschaft einen Impuls der unendlich hoch ist braucht. Ich kann es aber anwenden. \quoteoff Es ist ein Versuch, den geheimnisumwitterten Dirac-Impuls zu veranschaulichen. Wir haben doch in letzten Zeit öfters über Zeitmittelwerte diskutiert. Kannst Du nachvollziehen, dass $I_n$ ein Mittelwert über das angegebene Intervall ist? Servus, Roland


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\quoteon(2022-03-18 08:01 - rlk in Beitrag No. 10) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-03-14 23:05 - rlk in Beitrag No. 8) woher kommt die Gleichung? \quoteoff Aus dem folgenden Text aus Ohm/Lücke: "Verallgemeinert lässt sich die Siebeigenschaft des Dirac-Impulses auch in Form eines Produktes des Dirac-Impulses mit einem Signal $s(t)$ definieren. Hierzu wird zunächst das Faltungsprodukt von $s(t)\cdot\delta(t)$ mit einem beliebigen Signal $g(t)$ gebildet also $[s(t)\delta(t)]\star g(t) = s(0)g(t)$" \quoteon Die Faltung ist bilinear, daher gilt für $a,b\in\IR$ \[ a f(t) \star b g(t) = ab \left(f(t) \star g(t)\right) \] Dabei wurde das Assoziativgesetz der Multiplikation verwendet. \quoteoff Achso, da hatte ich nicht daran gedacht, dass durch das Ergebnis des Faltungsintegrals, die zeitabhängige Variable $t$ nur noch an der Stelle $t = 0$, ein konstanter Wert des Signals $s(0)$ ausgegeben wird, dahher ist es auch unabhängig von der Integrationskonstante $\tau$ und $s(0)$ kommt dann als Faktor vor das Faltungsintegral. \quoteoff Du meinst hoffentlich die Integrationsvariable $\tau$, bei bestimmten Integralen gibt es keine Integrationskonstanten. \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) \quoteoff Ja genau, es war natürlich die Integrationsvariable gemeint. Hab da irgendwie die Namen durcheinander gebracht. \quoteon Es soll gezeigt werden, dass $$[s(t)\delta(t)]\star g(t) = [s(0)\delta(t)]\star g(t)$$ Und dann kommt mittels Vergleich heraus, dass $$s(t)\delta(t) = s(0)\delta(t) \qquad (9)$$ (Frage: Meint man mit Vergleich, einen Koeffizientenvergleich? Also das man sich den Faktor vor $g(t)$ auf beiden Seiten anschaut?) \quoteoff Ja, es ist ähnlich wie bei einem Koeffizientenvergleich, die beliebige Funktion $g$ spielt hier die Rolle der Monome. \quoteoff Dann habe ich das ja richtig verstanden \quoteon \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) ist und allgemein betrachtet, wäre es dann $$s(t)\delta(t-T) = s(T)\delta(t-T)$$ Wie kommt man denn darauf, dass $s(0)$ zu $s(T)$ wird, wurde denn nicht einfach die Delta Distribution um $-T$ nach rechts verschoben? \quoteoff Der Dirac-Impuls wird um $T$ nach rechts verschoben, liegt also bei $t=T$ (eine Verschiebung um $-T$ nach rechts wäre ja eine um $T$ nach links). Es wird daher der Wert $s(T)$ abgetastet. Das kannst Du ja leicht nachrechnen: \[ s(t)\delta(t-T) \star g(t) = \int_{-\infty}^\infty s(\tau)\delta(\tau-T)g(t-\tau)\,\dd\tau \stackrel{\tau'=\tau-T}{=} \int_{-\infty}^\infty s(\tau'+T)\delta(\tau')g(t-\tau'-T)\,\dd\tau' = s(T)g(t-T) \] Die rechte Seite kannst Du auch als $s(T)\delta(t-T)\star g(t)$ schreiben und erhältst so die gesuchte Gleichung. Mit etwas Übung kann man die Substitution $\tau'=\tau-T$ im Kopf machen und den Wert des Integrals als den Funktionswert des Integranden ohne $\delta$ an der Stelle, an der das Argument von $\delta$ Null wird (die wir früher $\tau_0$ genannt haben) angeben. \quoteoff Aus dem Text von Ohm/Lücke war mir an der Stelle nicht klar, dass dort nochmal mit $g(t)$ gefaltet wurde, weil es da halt nicht steht. Dann kann ich mir einfach merken, falls so ein Text nochmal vorkommen sollte, dass ich hier nochmal die Faltung aus der Ausgangssituation betrachten muss, nur halt nach der Variablen $T$ für die Signale $s$ und $g$. \quoteon \quoteon(2022-03-15 01:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-03-14 18:41 - rlk in Beitrag No. 7) Betrachtet man Integrale \[ I_n = \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta_n(t)\,\dd t \] dann liefern die ja den Mittelwert der Funktion $f$ über das Intervall $[-\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}]$, die für $n\to \infty$ gegen $f(0)$ konvergieren. \quoteoff Das mit dem Mittelwert verstehe ich nicht, also in welchem Zusammenhang betrachtet man das. Das Integral der jeweiligen Rechtecke muss doch immer $1$ sein und warum man für die Siebeigenschaft einen Impuls der unendlich hoch ist braucht. Ich kann es aber anwenden. \quoteoff Es ist ein Versuch, den geheimnisumwitterten Dirac-Impuls zu veranschaulichen. Wir haben doch in letzten Zeit öfters über Zeitmittelwerte diskutiert. Kannst Du nachvollziehen, dass $I_n$ ein Mittelwert über das angegebene Intervall ist? \quoteoff Also wenn ich mir das ausführlich für $n\to \infty$ aufschreibe komme ich auf $$I_{\infty} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta_\infty(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\infty dt$$ Also einen Mittelwert kann ich aus dem Integral nicht erkennen. Es gilt doch der Mittelwertsatz der Integralrechnung, wenn vom Mittelwert die Rede ist, oder etwa nicht? Sowas wie $$I = {1\over b-a}\int_{a}^{b}f(t)\delta(t)dt$$ Darunter stelle ich mir eher ein Mittelwert vor, da dort ja noch durch die Differenz der Integralgrenzen dividert wird.


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Hallo Sinnfrei, die Größe $T$ ist eine Konstante, keine Variable. Um den Mittelwert zu erkennen, musst Du die Definition von $\delta_n$ aus Beitrag 5 verwenden. Der springende Punkt ist hier, dass der Grenzwert $\lim_{n\to \infty} I_n$ existiert, obwohl die Funktionenfolge $\delta_n$ nicht gegen eine Funktion konvergiert. Der Mittelwert der Integralrechnung ist hier nützlich, um den Grenzwert $\lim_{n\to \infty} I_n$ zu bestimmen. Du kannst $I_n$ auch physikalisch interpretieren, es ist eine von vielen Möglichkeiten, den Messvorgang zur Bestimmung des Abtastwerts $f(0)$ zu beschreiben. Servus, Roland


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