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| Autor |
 vollständige Induktion |
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RogerKlotz
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
 |  Themenstart: 2022-03-10
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Hallo Zusammen. Ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe, die ich über Induktion lösen möchte.
\[n! \leq 2 (\frac{n}{2})^{n}\]
Beweis mittels vollständiger Induktion.
Sei n=1
\(\Rightarrow 1!\) und \((\frac{1}{2})^{1} = 1 \)
\[\Rightarrow 1! \leq 2(\frac{1}{2})^{1} \]
Für n=1 ist die Ungleichung erfüllt. Beweise nun für \(n = n+1\)
\[\left(n+1\right)! = \left(n+1\right) n! \]
\[2\left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n+1} = \left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n} (n+1)\]
\[\Rightarrow (n+1)! = (n+1)n! \leq 2\left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n+1} = \left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n} (n+1) \]
\[\Rightarrow n! \leq \left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n} \]
Wie geht es jetzt weiter? Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich weiß jetzt nicht so richtig, wie ich das Ganze abschließen soll.
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10498
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-10
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Hallo,
\quoteon(2022-03-10 16:50 - RogerKlotz im Themenstart)
Wie geht es jetzt weiter? Bin ich auf dem richtigen Weg?
\quoteoff
Im Prinzip schon. Jetzt muss aber die Induktionsvoraussetzung noch ins Spiel kommen. Die kannst du aber in dieser letzten Zeile noch leicht unterbringen, so dass eine Ungleichungskette entsteht...
PS: die 2 würde ich hier nicht herauskürzen, das ist äußerst verwirrend (aber natürlich nicht falsch).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Induktion' von Diophant]
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Profil
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RogerKlotz
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-10
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Danke für die schnelle Antwort. Ja genau. Die Voraussetzung fehlt natürlich.
Ich denke, dass es gar nicht so schwierig ist. Laut Voraussetzung gilt ja:
\[n! \leq 2 (\frac{n}{2})^{n}\]
\[\Rightarrow n! \leq 2 (\frac{n}{2})^{n} \leq \left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n} \]
Das müsste es dann gewesen sein, oder?
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Profil
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10498
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-10
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Hallo,
\quoteon(2022-03-10 17:07 - RogerKlotz in Beitrag No. 2)
Danke für die schnelle Antwort.
\quoteoff
Ja, hier muss ich zu meiner Schande gestehen, dass ich zu schnell unterwegs war. Das geht so einfach nicht (und dein ganzer Ansatz oben ist IMO verkehrt).
Meine Vermutung: hier muss man in irgendeiner Form die Bernoulli-Ungleichung ins Spiel bringen. Ich arbeite mal dran, bin aber mit meinen Versuchen bisher noch nicht erfolgreich gewesen. Sorry!
Gruß, Diophant
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2542
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-10
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Huhu RogerKlotz.
\quoteon(2022-03-10 16:50 - RogerKlotz im Themenstart)
\[\Rightarrow n! \leq \left(\frac{(n+1)}{2}\right)^{n} \]
Ich weiß jetzt nicht so richtig, wie ich das Ganze abschließen soll.
\quoteoff
Mit AM-GM und der Gaußschen-Summenformel.
Gruß,
Küstenkind
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| RogerKlotz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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