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 Randbedingung bei instat. Wärmeleitung FDM |
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Klerijan
Junior 
Dabei seit: 13.09.2014
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-03-14
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Hi
Ich habe eine Frage zum Einbau einer Randbedingung in die instationäre 2D-Wärmeleitungsgleichung gelöst mit Finite Differenzen Methode.
Die Randbedingung soll die Konvektion behandeln und greift an den Knoten 1,2,3,4 an.
Mein Gitter sieht folgendermaßen aus
y 9 10 11 12
^ 5 6 7 8
| 1 2 3 4
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---> x
also y von unten nach oben und
x von links nach rechts
Wärmeleitfähgkeit in x und y Richtung = lambda
Mein Ansatz wäre folgender gewesen:
Randbedingung:
Tf... Fluidtemperatur
\alpha ... Wärmeübergangskoeffizient
\lambda*pdiff(T,x)=\alpha*(T-Tf)
Betrachtet wird Knoten 1 in y Richtung, daher wird
Differntialquotient auf Knoten 5 und 0 (=Ghostpoint) angewendet
\lambda*(T5-T0y)/(2*\Delta y)=\alpha*(T1-Tf)
umformen auf T0y
T0y=(2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*Tf+(-2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*T1+T5
Differenzengleichung für den ersten Knoten.
\rho*c*(T1'-T1)/(\Delta t) = \lambda * (T2'-2*T1'+T0x')/(\Delta x^2) +\lambda * (T5'-2*T1'+T0y')/(\Delta y^2)
Einsetzen von T0y
\rho*c*(T1'-T1)/(\Delta t) = \lambda * (T2'-2*T1'+T0x')/(\Delta x^2) +
\lambda * (T5'-2*T1'+(2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*Tf+(-2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*T1'+T5')/(\Delta y^2)
Terme für Vereinfachung
sx=(\lambda*\Delta t )/ (\Delta x^2* \rho*c)
sy=(\lambda*\Delta t )/ (\Delta y^2* \rho*c)
T1'-T1 = sx*(T2'-2*T1'+T0x') + sy*(2*T5'-2*T1'+(2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*Tf+(-2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*T1')
Umformen
T1'*(2*sx+2*sy+1+(2*\Delta y*\alpha)/(\lambda))-sx*T2-sx*T0x-2*sy*T5 = T1 +sy*(2*\Delta y*\alpha)/(\lambda)*Tf
Das gleiche Prinzip wende ich nun für die Knoten 2,3,4 an.
Für die restlichen RB wähle ich die Neumann RB.
Ich habe das Ganze in Matlab ausprogrammiert und leider ist das Ergebnis nicht logisch, da mit steigendem lambda die Temperatur mehr Zeit braucht, und die Temperatur im Gitter größer als die Gastemperatur werden kann.
Daher meine Frage ob
1.) mein Ansatz von er RB richtig ist und
2.) ob ich beim Umformen bzw. Einsetzen einen Fehler gemacht habe.
Danke für die Hilfe
lg
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