| Autor |
 Aussagen beweisen |
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daisy77
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Dabei seit: 09.07.2021
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 |  Themenstart: 2022-03-14
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Kann mir jemand weiterhelfen. Aufgabenstellung siehe Foto
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-14
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Hallo,
es fehlen zwei Dinge:
- Foto
- eigene Überlegungen/Ansätze
Noch sinnvoller wäre es jedoch, das Foto wegzulassen und die Fragen bzw. die Aufgabe hier einzutippen.
Gruß, Diophant
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daisy77
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-14
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Es war schwierig zum tippen. Nach Vereinigung steht i Elemnt I im Index.
Es seien Ω1 und Ω2 zwei Mengen, I und J zwei Indexmengen, (Ai)i∈I und (Bj)j∈J eine Familie von Teilmengen in Ω1 bzw. Ω2 sowie f : Ω1 → Ω2 eine Abbildung. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) f(Ui∈I Ai) = U i∈I f(Ai)
(b) f(∩ i∈I Ai) ⊂ ∩ i∈I f(Ai). Zeigen Sie weiters: Falls f injektiv ist, so gilt Gleichheit.
(c) f^-1(U j∈J Bj) = U j∈J f^-1(Bj).
(d) f^-1(∩ j∈J Bj) = ∩ j∈J f^-1(Bj)
(e) Für B ⊂ Ω2 gilt f^-1(B^c) = f^-1(B)^c.
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michfei
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-14
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Hallo,
schauen wir uns doch mal die a) an. Wie würdest du anfangen? Wie zeigt man im Allgemeinen die Mengengleichheit?
LG
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daisy77
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-14
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Mengengleichheit gilt, wenn beide Mengen die gleichen Elemente besitzt. Im Allgemeinen würde ich dies wie folgt zeigen:
A=B <=> A ⊆ B Λ B ⊆ A
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michfei
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-14
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Korrekt, genau so würde man es auch bei der a) zeigen.
Wir müssen also zeigen, dass
\[y \in f(\bigcup\limits_{i \in I} A_i) \Longleftrightarrow y \in \bigcup\limits_{i \in I} f(A_i) \]
Hilft dir das weiter?
LG
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daisy77
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-14
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y∈f(⋃i∈I Ai)⟺y∈⋃i∈I f(Ai)
f(⋃i∈I Ai) ⊆ ⋃i∈I f(Ai) Λ ⋃i∈I f(Ai) ⊆ f(⋃i∈I Ai)
Stimmt da so bzw. ist der Beweis fertig?
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michfei
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-14
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Die Folgerung ist korrekt, du hast die obige Äquivalenz aber noch nicht gezeigt. Wenn du diese gezeigt hast, dann ist dein Beweis fertig.
LG
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daisy77
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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f(Ui∈I Ai) = U i∈I f(Ai)
y∈f(⋃i∈I Ai)⟺y∈⋃i∈I f(Ai)
f(⋃i∈I Ai) ⊆ ⋃i∈I f(Ai) Λ ⋃i∈I f(Ai) ⊆ f(⋃i∈I Ai)
Wäre der Beweis so nicht komplett, falls nicht könntest es mir bitte zeigen. Ich verstehe nicht was du mit der Äquivalenz meinst?
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-15
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Hallo daisy77,
\quoteon(2022-03-15 06:24 - daisy77 in Beitrag No. 8)
y∈f(⋃i∈I Ai)⟺y∈⋃i∈I f(Ai)
\quoteoff
Das kann man "sehen" oder explizit beweisen. Für Neulinge empfiehlt sich zweites.
"=>"
Sei \(y\in f(\bigcup_{i\in I}A_i)\). Dann existiert ein \(x \in \bigcup_{i\in I}A_i\) mit \(f(x)=y\). Da \(x \in \bigcup_{i\in I}A_i\), existiert ein \(i_0\in I\) mit \(x\in A_{i_0}\). Dann ist \(y\in f(A_{i_0})\). Somit ist \(y\in\bigcup_{i\in I}f(A_i)\).
"<="
...
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daisy77
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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Vielen Dank. Ist damit (wie du es geschrieben hast) der Beweis fertig? :)
Wie kann ich die Aufgabe b machen? :)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-15
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Das "..." ist noch zu vervollständigen.
Zu b)
Was ist denn hier zu zeigen. Versuche dann das, was zu zeigen ist, zu beweisen. Das geht dann ähnlich zu a).
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daisy77
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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Bei b möchte ich zeigen, dass f(∩ i∈I Ai) eine Teilmenge von ∩ i∈I f(Ai).
Dies mache ich wie folgt:
A⊆B:⟺∀x: x∈A⟹x∈B.
Also in meinem Bsp:
∀x: x∈ f(∩ i∈I Ai) ⟹x∈ ∩ i∈I f(Ai)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-03-15
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\quoteon(2022-03-15 12:25 - daisy77 in Beitrag No. 12)
∀x: x∈ f(∩ i∈I Ai) ⟹x∈ i∈I f(Ai)
\quoteoff
Da fehlt ein ∩, aber sonst richtig. Versuche, dies zu beweisen.
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daisy77
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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Wo genau fehlt das. Könntest mir das zeigen bitte. :)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.15, eingetragen 2022-03-15
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\quoteon(2022-03-15 18:16 - daisy77 in Beitrag No. 14)
Wo genau fehlt das. Könntest mir das zeigen bitte. :)
\quoteoff
Habe ich dann mal ausgebessert.
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2717
 | Beitrag No.16, eingetragen 2022-03-15
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Randbemerkung:
\quoteon(2022-03-14 20:09 - daisy77 in Beitrag No. 2)
(b) [...] Zeigen Sie weiters: Falls f injektiv ist, so gilt Gleichheit.
\quoteoff
kann man nicht zeigen, weil es falsch ist. Es sei denn, "Indexmengen" sind 'was anderes als einfach Mengen.
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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
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| Beitrag No.17, eingetragen 2022-03-16
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@tactac: ich verstehe diesen Einwand nicht.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4424
 | Beitrag No.18, eingetragen 2022-03-16
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\quoteon(2022-03-16 10:14 - helmetzer in Beitrag No. 17)
@tactac: ich verstehe diesen Einwand nicht.
\quoteoff
Ich weiß nicht, ob das der Punkt ist, an den tactac denkt, aber für $I=\emptyset$ liegt Gleichheit nur vor, wenn $f$ surjektiv ist.
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Triceratops
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 |  Beitrag No.19, eingetragen 2022-03-16
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@helmetzer: Siehe auch https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906 im Abschnitt "Leere Vereinigungen und Durchschnitte" sowie Satz 8 in https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1886
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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 8202
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.20, eingetragen 2022-03-16
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\quoteon(2022-03-16 12:00 - Triceratops in Beitrag No. 19)
@helmetzer: Siehe auch https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906 im Abschnitt "Leere Vereinigungen und Durchschnitte"
\quoteoff
@Triceratops: Ich habe deinen Artikel kommentiert.
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