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Strukturen und Algebra » Ringe » Ring mit Charakteristik 2
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Universität/Hochschule J Ring mit Charakteristik 2
nitram999
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  Themenstart: 2022-03-17

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Ist ein Ring R mit Charakteristik 2 ein Körper? Mein Gedanke war, dass das nicht stimmt. Dazu habe ich mir das folgende Gegenbeispiel überlegt: Sei R:= \IZ_2 [X]. Dies ist ein Ring mit Einselement 1^- . R hat Charakteristik 2, denn 1^- + 1^- = 0^- in \IZ_2 [X] Gleichzeitig ist R kein Körper, denn X\el\ \IZ_2 [X] hat kein inverses Element bezüglich der Multiplikation. Stimmt mein Beispiel? Und gibt es andere Gegenbeispiele? LG nitram999


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-17

Ich nehme an, du meinst $R = \IF_2[X]$. Beachte, dass $\IZ_2$ der Ring der $2$-adischen ganzen Zahlen ist (https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number), nicht zu verwechseln mit dem Körper mit zwei Elementen $\IF_2 = \IZ/2\IZ$. Dass $\IZ_n$ immer noch von einigen Autoren für den Restklassenring $\IZ/n\IZ$ benutzt wird, ändert nichts daran, dass es sehr ungünstig (ich würde sagen: falsch) ist, Notation für grundlegende mathematische Objekte zu überladen. Man stelle sich einmal vor, es gäbe einige Autoren, die $\IN$ anstelle von $\IR$ schreiben (N wegen Nachkommazahlen oder sowas) und dann ständig zu klären ist, welcher Autor zu welcher Gruppe gehört. Die Empörung wäre groß - und das zurecht. Natürlich gibt es sehr viele Beispiele von Ringen der Charakteristik $2$, die keine Körper sind. Die beiden Begriffe haben ja nichts miteinander zu tun. Charakteristik $2$ zu haben bedeutet lediglich, dass $\IF_2$ ein Teilring ist. • $\IF_2[X_1,\dotsc,X_n]$ für $n \geq 1$ • $\IF_2[[X_1,\dotsc,X_n]]$ für $n \geq 1$ (formale Potenzreihen) • $(\IF_2)^n$ für $n \geq 1$ • $\IF_2[X]/\langle X^2 \rangle$ • $\IF_2[X,X^{-1}]$ • $\IF_2[X,Y]/ \langle XY \rangle$ • der Gruppenring $\IF_2[G]$ für endliche nicht-triviale Gruppen $G$ • ... deiner Phantasie sind keine Grenzen gesetzt Du kannst übrigens jeden Ring $R$ zu einem Ring der Charakteristik $\leq 2$ "machen", indem du zum Quotientenring $R/2R$ übergehst. Dieser Ring ist entweder trivial oder hat Charakteristik $2$. Die obigen Beispiele gehen entsprechend aus bekannten über $\IZ$ definierten Ringen hervor. Zum Beispiel bekommst du so aus $\IZ[X_1,\dotsc,X_n]$ den Ring $\IF_2[X_1,\dotsc,X_n]$.


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-17

Hallo Triceratops, ja diesen Ring meine ich. Bei uns wurde tatsächlich \IZ_n mit dem Restklassenring \IZ//n\IZ identifiziert. Danke für deine Erklärungen und Ausführungen!


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