Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Ring nicht faktoriell
Autor
Universität/Hochschule J Ring nicht faktoriell
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Themenstart: 2022-03-17

Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe, bei der insgesamt gezeigt werden soll, dass der gegebene Ring R nicht faktoriell ist: Sei R:=\IZ+X*\IQ[X] Zeige: a) In R gilt n|||X für alle n\el\ \IN b) Jede Primzahl p ist in R irreduzibel c) R ist nicht faktoriell (Hinweis: Benutze a) und b) und betrachte das Element X) Der gegebene Ring beinhaltet ja alle Polynome mit rationalen Koeffizienten aber ganzzahligen Konstanten, d.h. man kann R auch schreiben als: R={z+X*f |||z\el\ \IZ und f\el\ \IQ[X]}\subsetequal\ \IQ[X] Nun habe ich etwas Probleme mit der Aufgabe und bin mir schon bei a) unsicher. Mein Gedanke war hierzu folgender: Sei n\el\ \IN dann gilt in R: n|||X <=> Es ex. k\el\ R mit n*k=X. Setzt man nun k:=X/n (Dieses Element liegt im Ring R), so müsste die Aussage in a) schon folgen. Stimmt das? Bei b) und c) habe ich noch Probleme und keinen Ansatz. Bei b) dachte ich nur, dass man vielleicht zeigen kann, dass sich p nur als Produkt a*b schreiben lässt, wobei a oder b eine Einheit in R sein muss. Aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Ich würde mich über Hilfe freuen. Vielen Dank schon einmal! LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-17

Bei a) müsste es $n \in \IN^+$ heißen, weil für $n=0$ die Aussage ja falsch ist (und es gilt $0 \in \IN$, siehe https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906). Bei a) schreibst du am Ende "Stimmt das?", was also anzeigt, dass du dir unsicher bist, ob das so geht. Daher ist der Beweis unvollständig. Du musst dich am Ende selbst davon überzeugen, ob alles passt. Hier ein paar Fragen, die du beantworten solltest (für dich, du musst es nicht unbedingt posten): - Wie ist $\frac{X}{n}$ definiert? - Warum liegt dieses Element in $R$? Bei b) brauchst du keinen Ansatz herbeizaubern, du musst einfach anfangen, mit den Definitionen zu arbeiten (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). Was heißt es denn, eine Primzahl zu sein? Und was heißt es, irreduzibel (in einem Ring) zu sein? Schreibe das auf und prüfe es nach. Bei c) dasselbe. Es steht ja bereits da, dass du a) und b) und natürlich die Definition eines faktoriellen Ringes benutzen musst. Schlage die Definition nach, falls du sie nicht parat hast.


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-17

Hallo Triceratops, zur a) bei Ich mir jetzt schon sicherer, dass meine Lösung stimmt. Also k ist auf jeden Fall ein Element in R, da 1/n eine rationale Zahl ist und somit auch 1/n \el \IQ[X] gilt. k entsteht dann als Produkt von 1/n und X nach der Definition im Ring R. Bei der b) tue ich mir mit den Definitionen schwer. Irreduzibel haben wir wie folgt definiert: Für einen Integritätsbereich R heißt r \el R irreduzibel, wenn r!=0 und keine Einheit ist und jeder Teiler von r in der Menge [1] oder [r] liegt. Dabei sind [1] und [r] die Assoziiertheitsklassen von 1 und r. Gleichzeitig haben wir auch einen Satz, dass in einem Integritätsbereich prime Elemente irreduzibel sind. Ist dies hier nicht der Fall? Also weil in R die ganzen Zahlen enthalten sind und dort sind die Primzahlen ja prime Elemente und somit irreduzibel. Oder habe ich da einen Denkfehler? LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-17

a) Ja und entsprechend wäre es besser, $k := \frac{1}{n} \cdot X$ zu definieren. b) Du hast noch nicht angefangen, die Definition anzuwenden, sondern denkst über andere Sachen nach (und stellst dabei auch ein paar Behauptungen auf, die einen Beweis bräuchten, zum Beispiel dass p auch prim in R ist). Schreibe dir einmal hin, was es bedeutet, dass p in R irreduzibel ist. Prüfe das anschließend nach. Offenbar musst du zum Beispiel zuerst prüfen, dass p keine Einheit in R ist. Bestimme also die Einheiten in R. Danach musst du die Gleichung p = ab mit a,b in R annehmen und daraus folgern, dass a oder b eine Einheit in R ist. (Ich habe dir hierbei nichts verraten, ich habe lediglich die Definition aufgeschrieben, wobei eure Definition etwas anders formuliert, aber äquivalent ist.) Natürlich musst du hierbei benutzen, wie R definiert ist. Ich empfehle dir wie gesagt diesen Artikel: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805 Um potenzielle Denkfehler gleich einmal zu vermeiden: Wenn $R \subseteq S$ ein Unterring eines Integritätsringes $S$ ist, und $r \in R$, dann sind die Aussagen "$r \in R$ ist irreduzibel" und "$r \in S$ ist irreduzibel" nicht äquivalent. Dasselbe für prim. Wenn $R \cap S^{\times} = R^{\times}$ gelten sollte, gilt zumindest "$r \in S$ ist irreduzibel" $\implies$ "$r \in R$ ist irreduzibel", aber die Umkehrung (und genau so einen Fall haben wir hier) gilt selten und muss jeweils geprüft werden. Zum Beispiel ist ja $2 \in \IZ$ irreduzibel, aber $2 \in \IZ[\sqrt{2}]$ ist reduzibel. Fazit: Bei den Begriffen irreduzibel / prim kommt es ganz entscheidend darauf an, in welchem Ring man sich bewegt.


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-17

Hallo Triceratops, Danke für deine Antwort! Ja mit diesen "einfachen Beweismustern ohne Mühe" muss ich mich mal mehr beschäftigen. Auch wenn ich weiß, dass man vieles einfach mit Hilfe der Definitionen erschließen kann, fällt mir das oft schwer. zu b) Die Einheitenmenge von R, also R^x ist die Menge {-1,1}. Dies entspricht der Einheitenmenge von \IZ, denn Einheiten in R müssen aus \IZ sein. Das liegt daran, dass X\el\ R keine Einheit ist, da X kein inverses Element in R hat. Somit sind die irreduziblen Elemente von R in der Menge R\{0,1,-1}. Sei p eine Primzahl. Wir wollen nun zeigen, dass p irreduzibel in R ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn in der Darstellung p=a*b mit a,b\el R entweder a oder b eine Einheit in R ist, also a\el{1,-1} oder b\el{1,-1} gilt. Da p eine Primzahl ist, existieren nur die folgenden Darstellungen p=a*b in R: p=1*p oder p=(-1)*(-p) In beiden Fällen ist einer der Faktoren a oder b eine Einheit von R. Damit ist p irreduzibel in R. Da p eine beliebige Primzahl war, folgt dass alle Primzahlen irreduzibel in R sind. Zu c) bin ich noch nicht so viel weiter gekommen. Die Definition für einen faktoriellen Ring R lautet: Ein Ring R heißt faktoriell, wenn R ein Integritätsbereich ist und jedes r\el\ R\\{0}, das keine Einheit ist, primfaktorzerlegbar ist. Primfaktorzerlegbar müsste hierbei ja heißen, dass diese Zerlegung eindeutig ist, oder? Außerdem habe ich noch keine Idee, wie man den Hinweis verwenden kann. LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-17

b) Die Begründung für "Einheiten in $R$ müssen aus $\IZ$ sein" ist falsch. Wieso sollte es ausreichen, dass $X$ kein inverses Element hat? Schließlich ist $R$ viel größer. Tipp: $R^{\times} \subseteq \IQ[X]^{\times} = \dotsc$ Deine Begründung dafür, dass $p$ irreduzibel ist, ist falsch. Du hast vergessen, in welchem Ring du arbeitest. Bitte lies dir auch meinen vorigen Beitrag noch einmal aufmerksam durch. Da geht es genau um dieses Missverständnis. Außerdem hast du nirgendwo die Definition von $R$ benutzt. Schon alleine deshalb muss der Beweis unvollständig sein. c) Offensichtlich muss man die Definition der Faktorialität auf das Element $X$ anwenden, weil es ja in a) gerade um die Teiler von $X$ ging. In b) wurde gezeigt, dass $X$ aber "sehr viele" irreduzible Teiler hat ... Mehr verrate ich nicht, weil das der Lösung gleichkommen würde. Du musst die Definition eines faktoriellen Ringes verstehen, um die Aufgabe zu bearbeiten. https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorieller_Ring Noch ein Hinweis zu b) für die anderen Mitleser: Tatsächlich ist $p \in R$ nicht nur irreduzibel, sondern sogar prim. Der natürliche Homomorphismus $\IZ/p\IZ \to R/pR$ ist nämlich ein Isomorphismus, wie man leicht nachrechnet. Demnach ist $pR$ ein maximales Ideal und insbesondere ein Primideal, und auch $\neq 0$, also $p \in R$ prim.


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-18

Hallo, also das mit den Einheiten verstehe ich noch überhaupt nicht, ich bin immer noch überzeugt davon, dass M={1,-1} die Einheitenmenge von R ist. Also klar gilt: R^x \subsetequal\ \IQ[X]^x =\IQ^x (da \IQ als Körper nullstellenfrei ist) Damit ein x \el R Einheit ist, muss ein y \el R existieren, sodass x*y=1 erfüllt ist. Für die Menge M ist dies erfüllt. Aber ich sehe kein anderes Element x für das diese Forderung gilt. Zum Beispiel 2 \el R: Damit 2 eine Einheit ist, muss 2*y=1 gelten. Dies ist aber nur der Fall für y=1/2 und 1/2 ist nicht in R. Allgemein ist 1/n \notel\ R für n>=2, denn 1/n liegt zwar in \IQ[X], aber durch die Definition von R erhält man immer noch ein X, was an 1/n multipliziert wird. X hat in R aber kein Inverses Element, also 1/X \notel\R und somit 1/n \notel\R. Vielleicht kannst du mir ja helfen, und zeigen, wo mein Gedankengang falsch ist? Welches Element aus R\\ \IZ z.B. noch eine Einheit in R? LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-18

Ja, $R^{\times} = \{\pm 1\}$, aber deine Begründung ist unvollständig. Es bringt nichts, sich einzelne Beispiele anzuschauen. Gehe lieber systematisch vor, dann schreibt sich der Beweis von alleine hin (wie gesagt, schau dir gerne den Artikel an, wie man einfache Beweise findet; das hier ist ein einfacher Beweis). Nimm dir ein Element $p \in R^{\times}$. Wie gesagt ist dann auch $p \in \IQ[X]^{\times}$ (ist dir das klar? wenn nicht, überlege es dir) und damit $p \in \IQ^{\times}$. Nun ist aber $p = z + X \cdot q$ mit $z \in \IZ$, $q \in \IQ[X]$ (hier geht also die Definition von $R$ ein, die du - wie schon mehrmals gesagt - benutzen musst!). Was kannst du aus den Feststellungen (1) $p \in \IQ^{\times}$ (2) $p = z + X \cdot q$ mit $z \in \IZ$, $q \in \IQ[X]$ ableiten? Überlege erst selbst. Wenn du nicht weiterkommst, öffne den Block. \hideon Wegen (1) ist $p$ ein konstantes Polynom, sodass wir aus (2) also $p = z \in \IZ$ ablesen. (Wir können das Argument auch knapp so zusammenfassen: Es gilt $R \cap \IQ \subseteq \IZ$.) Überlege nun weiter. Wenn du nicht weiterkommst, öffne den Block. \hideon Wir müssen jetzt noch zeigen, dass auch das zu $p$ inverse Element in $\IZ$ liegt. Nun, das in $\IQ[X]^{\times}$ gebildete inverse Element $1/p$ liegt in $R$ und ist zugleich in $\IQ^{\times}$ enthalten. Aber es gilt $R \cap \IQ \subseteq \IZ$ wegen der Definition von $R$. Also ist $1/p \in \IZ$. Wir erhalten $p \in \IZ^{\times} = \{\pm 1\}$. \hideoff \hideoff


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-18

Hallo Triceratops, danke für deine Nachricht! Ich habe den Artikel mit den einfachen Beweisen gelesen und versuche mir einiges daraus jetzt anzueignen. Mir ist jetzt auch mehr aufgefallen, dass meine Begründungen meist lückenhaft sind. Vieles dachte ich mir sogar so, wie du es schreibst, aber mit meinen Formulierungen habe ich es schlecht rübergebracht. Zunächst einmal folgendes: \quoteon(2022-03-18 11:24 - Triceratops in Beitrag No. 7) Nimm dir ein Element $p \in R^{\times}$. Wie gesagt ist dann auch $p \in \IQ[X]^{\times}$ (ist dir das klar? wenn nicht, überlege es dir) \quoteoff R^x \subsetequal\ \IQ[X]^x gilt, weil: Sei r\el\ R^x eine Einheit in R. Dann ist auch das Inverse r^(-1) \el\ R^x, denn r*r^(-1) =1 und somit ist r aber auch r^(-1) eine Einheit von R. Da R^x\subsetequal\ R ist, liegen r und r^(-1) auch in \IQ[X]. Dort gilt dann auch die Gleichung r*r^(-1) =1 und daher ist r eine Einheit in \IQ[X], also r\el\ \IQ[X]^x Da r beliebig aus R^x gewählt war, folgt R^x\subsetequal\ \IQ[X]^x. Die weitere Begründung zur Irreduzibilität und Teilaufgabe c) muss ich mir erst noch weiter anschauen. LG nitram999


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Hallo Triceratops, ich habe mich jetzt weiter mit der Aufgabe beschäftigt. zu b) Irreduzible Elemente in R sind per Definition ungleich 0 und keine Einheiten von R. In den letzten Beiträgen wurde gezeigt, dass für die Einheitenmenge von R gilt: R^x ={-1, 1} => Ist r\el\ R irreduzibel, so ist r\el\ R\\{-1,0,1}. Für eine beliebige Primzahl p gilt, dass p\notel\ {-1,0,1} ist. Somit können bisher noch alle Primzahlen irreduzibel in R sein. Weiter muss aber noch gelten: Nimmt man in R die Gleichung p=a*b an, so ist a oder b eine Einheit, d.h. a oder b sind \el\ {-1,1}. Eine Primzahl ist ein konstantes Polynom und lässt sich wegen der Definition von R auch nur als Produkt zweier konstanter Polynome schreiben. Somit sind a,b\el\ \IZ. Aus der Primzahldefinition und wegen a,b\el\ \IZ folgt nun, dass es nur die beiden Möglichen "Zerlegungen" für p gibt: p=1*p oder p=(-1)*(-p). In beiden Fällen ist einer der Faktoren eine Einheit aus R und damit ist p irreduzibel in R. Da p beliebig gewählt war, sind alle Primzahlen irreduzibel in R. zu c) Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen R ist ein faktorieller Ring. Dann gilt auch für r\el\ R: r ist irreduzibel <=> r ist prim. Per Definition eines faktoriellen Rings, besitzt jedes Element in R\\{0} eine eindeutige (bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit) Zerlegung in irreduzible (bzw. prime) Faktoren. Wir betrachten hierzu X\el\ R. Nach a) ist jede natürliche Zahl ein Teiler von X. Da alle Primzahlen insbesondere natürliche Zahlen sind, folgt, dass auch alle Primzahlen Teiler von X sind. D.h. sind p_1 und p_2 zwei verschiedene Primzahlen, so gilt (p_1) |||X und (p_2) |||X. => Es existieren k_1 und k_2 in R, sodass p_1 * k_1 = X und p_2 * k_2 = X. Nach b) sind die Primzahlen p_1 und p_2 irreduzibel in R. p_1 und p_2 liegen jedoch in verschiedenen Assoziiertheitsklassen. Somit wurden zwei echt verschiedene Primfaktorzerlegungen von X gefunden. Dies widerspricht der Annahme und damit kann der Ring R nicht faktoriell sein. Es wäre schön, wenn mir hierzu jemand Rückmeldung geben könnte. Ich denke an der ein oder anderen Stelle könnte es noch Verbesserungsbedarf geben. Vielen Dank schon mal! LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-21

b) Hier ist die Begründung zu knapp: "und lässt sich wegen der Definition von $R$ auch nur als Produkt zweier konstanter Polynome schreiben" c) Dass $X$ zwei nicht-assoziierte Primteiler hat, ist kein Widerspruch zur Faktorialität. Die Zahl $6 \in \IZ$ hat ja auch zwei nicht-assoziierte Primteiler. Zu c) habe ich bereits in Beitrag 5 einen Hinweis gegeben. Entscheidend ist hier die Anzahl der Primteiler (bis auf Assoziiertheit).


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-21

Hallo, \quoteon(2022-03-21 00:40 - Triceratops in Beitrag No. 10) c) Dass $X$ zwei nicht-assoziierte Primteiler hat, ist kein Widerspruch zur Faktorialität. Die Zahl $6 \in \IZ$ hat ja auch zwei nicht-assoziierte Primteiler. \quoteoff Zum Verständnis habe ich zunächst einige Fragen: das heißt, wenn man zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen von X hat, die jeweils gleich viele prime Faktoren haben, dann ist das noch kein Widerspruch? Also können beliebig viele verschiedene Primfaktorzerlegungen zu einem Element existieren und solange alle Primfaktorzerlegungen gleich viele Faktoren haben, ist alles in Ordnung? Und erst wenn man eine Zerlegung mit z.B. drei primen Faktoren und eine mit zwei primen Faktoren findet, liefert das einen Widerspruch zur Faktorialität? Ich dachte bisher, dass "bis auf Assoziiertheit" bedeutet, dass in R eindeutige Primfaktorzerlegungen auch immer nur gleiche Assoziiertheitsklassen auftauchen dürfen, aber es egal ist, welche genauen Elemente daraus. Und bei X wäre das oben nicht der Fall weil p1 und p2 aus zwei verschiedenen Assoziierthritsklassen kommen. Bei 6 \el \IZ wäre das ja auch der Fall, denn 6=2*3=(-2)*(-3) aber -2 liegt ja in der gleichen Assoziiertheitsklasse wie 2 und -3 in der gleichen wie 3. Meiner Meinung wäre es dann also ein Widerspruch, wenn man 6 als Produkt zweier anderer Primzahlen schreiben könnte (was aber ja in den ganzen Zahlen nicht geht). Was genau heißt also "bis auf Assoziiertheit"? LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.12, eingetragen 2022-03-21

Du hast zwei Primfaktoren gefunden. Das heißt nicht, dass du zwei Primfaktorzerlegungen gefunden hast. Betrachte wie gesagt $6 = 2 \cdot 3$. Du hast meinen Tipp mit der Anzahl erneut ignoriert. Das motiviert mich nicht gerade, hier noch weiter zu posten. Wir haben gezeigt, dass jede Primzahl ein Primteiler von $X$ ist. Also ...


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-21

Hallo Triceratops, Danke für deine Antwort! Entschuldige, mein letzter Post war lediglich eine Nachfrage dazu, was man genau unter "bis auf Assoziiertheit" zu verstehen hat. Mit den anderen beiden Punkten aus Beitrag 10 war ich noch beschäftigt. Mittlerweile habe ich herausgefunden, dass "bis auf Assoziiertheit" folgendes bedeutet: Ist R ein faktorieller Ring und A eine Primfaktorzerlegung eines Elements aus R. Nun ist A bis auf Anordnung und Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Das heißt die Faktoren dürfen einerseits vertauscht werden (Anordnung). Und zum anderen darf ein Faktor der Primfaktorzerlegung durch einen anderen Faktor derselben Assoziiertheitsklasse ersetzt werden (Assoziiertheit). Stimmt das jetzt so? Jetzt zum Rest von Beitrag 10: zu b) An der Stelle, wo der Beweis zu knapp war, würde ich es dann so machen: p=a*b wobei p ein konstantes Polynom ist. Das heißt, dass deg(p)=0 gilt. Da p!=0 ist, sind auch a und b !=0. Da R ein Integritätsbereich ist, haben a und b einen Nicht-Nullteiler als Leitkoeffizienten und deshalb gilt in der Gradformel Gleichheit und es folgt: 0=deg(p)=deg(a)+deg(b) =>deg(a)=deg(b)=0 =>a und b sind konstante Polynome Nach der Definition von R sind a und b \el\ \IZ. zu c) Nachdem ich mich mehr damit beschäftigt habe, was "bis auf Assoziiertheit" bedeutet, bin ich auch hier etwas weiter gekommen. Kern dieser Teilaufgabe ist es zwei verschieden lange Primfaktorzerlegungen für X zu finden. Wir wissen aus a) und b), dass jede Primzahl ein primer Teiler von X ist. Das heißt X hat unendlich viele Primteiler. Mir fällt es nun jedoch noch schwer 2 solche verschieden langen Primfaktorzerlegungen anzugeben. Andererseits dachte ich mir, dass das Problem bereits sein könnte, dass man für X eine unendlich lange Primfaktorzerlegung angeben kann und dies schon den Widerspruch zur Faktorialität liefert. Ich habe in meinen Aufzeichnungen jedoch nichts dazu gefunden, dass eine Primfaktorzerlegung in faktoriellen Ringen endlich sein muss - auch wenn es mir ziemlich klar vorkommt, dass es so sein muss. Ist meine Vermutung richtig? Und wenn ja, wo in der Definition für einen faktoriellen Ring, kann man erkennen, dass Primfaktorzerlegungen endlich sind? Edit: Primfaktorzerlegung ist bei uns so definiert: Sei R ein Integritätsbereich und r\el\ R. Existieren Primelemente p_1 , ..., p_n \el\ R sodass r=p_1 * ... * p_n gilt, so sagen wir, dass r primfaktorzerlegbar ist und nennen das Produkt p_1 * ... * p_n Primfaktorzerlegung von r. Vermutlich steckt die Endlichkeit im Index n oder? Wenn dies so ist, dann wäre X ein Element von R, welches nicht primfaktorzerlegbar wäre. Und nach der Definition für einen faktoriellen Ring (siehe Beitrag Nr. 4) ist R dann nicht faktoriell. LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.14, eingetragen 2022-03-22

Vergiss' das mit der Eindeutigkeit. Das ist eine falsche Fährte. Zeige doch einfach, dass in einem faktoriellen Ring jedes Element $\neq 0$ nur endlich viele Primteiler (bis auf Assoziiertheit) hat. Bis auf Assoziiertheit heißt hier das, was allgemein bis auf $\sim$ für eine Äquivalenzrelation $\sim$ bedeutet. Es heißt, dass es endlich viele Elemente mit der genannten Eigenschaft gibt, und jedes andere Element mit der Eigenschaft ist $\sim$-äquivalent zu einem dieser endlich vielen Elemente. Beispiel: In einem faktoriellen Ring hat $p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s}$ bis auf Assoziiertheit lediglich die Primteiler $p_1,\dotsc,p_s$. (Beweise das.)


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22

Hallo, heißt das, dass die Endlichkeit noch nicht aus der Definition folgt? Dazu war ich mir mittlerweile eigentlich sicher. Denn sei R ein faktorieller Ring. Dann ist nach Definition (Beitrag 4) jedes r\el\ R primfaktorzerlegbar. Das heiß für r gilt nach Definition (Beitrag 13), dass r=p_1 * ... * p_n gilt mit endlich vielen Primelementen p_1 , ..., p_n Somit ist jedes Element aus r als endliches Produkt von Primelementen darstellbar. Hieraus folgt dann auch der Widerspruch in Teil c) denn X hat unendlich viele Primteiler und ist damit nicht primfaktorzerlegbar. Ansonsten weiß ich nicht, wie man die Aussage beweisen soll. \quoteon(2022-03-22 01:50 - Triceratops in Beitrag No. 14) Beispiel: In einem faktoriellen Ring hat $p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s}$ bis auf Assoziiertheit lediglich die Primteiler $p_1,\dotsc,p_s$. (Beweise das.) \quoteoff Hier hätte ich das Produkt einfach ausgeschrieben, also k1 Faktoren von p1 multipliziert mit k2 Faktoren von p2 usw. Dann sieht man, dass nur p1,...,ps Primteiler sind. Und bis auf das sollte die Aufgabe ja jetzt auch gelöst sein. LG nitram999


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6346
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.16, eingetragen 2022-03-22

Aus der Darstellung folgt jediglich, dass $p_1,\dotsc,p_s$ Primteiler sind. Es ist auch die Umkehrung zu zeigen, nämlich dass jeder Primteiler $q$ zu einem der $p_i$ assoziiert ist. (Vielleicht habt ihr das bereits in der Vorlesung gezeigt, aber so oder so müsstest du den Beweis liefern können.)


   Profil
nitram999
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22

Achso, ja das haben wir in der Vorlesung gezeigt. Vielen Dank für deine ganzen hilfreichen Kommentare Triceratops!


   Profil
nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nitram999 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]