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Integration » Integration im IR^n » Anwendung des Integralsatzes von Gauß in Kugelkoordinaten
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Universität/Hochschule J Anwendung des Integralsatzes von Gauß in Kugelkoordinaten
Zauberlehrling
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Liebe Forum-Mitglieder, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/42585_bsp.png Zu berechnen ist das Flussintegral, doch dafür benötige ich zunächst einmal das Integrationsmaß dS. In meinem Lehrbuch steht bereits, dass man bei Kugeln stets annehmen kann, dass dS = r^2 * sin(\theta) dr d\theta d\phi2 gilt. In den Lösungen zu dieser Aufgabe ist jedoch dS = e_r R^2 sin\theta d\theta d\phi2 angegeben. Wie kann es sein dass d_r wegfällt und stattdessen nun e_r als Einheitsvektor angegeben wird? In welchen Fällen genau ist denn die im Lehrbuch angegebene Schreibweise in Kugelkoordinaten richtig? Desweiteren: Bei diesem Flussintegral betrachten wir ja gemäß des Integralsatzes von Gauß die gesamte Oberfläche des Keilrings, welche sich ja zusammensetzt aus der Oberfläche der Kugel + Oberfläche der inneren Kegel. Warum liefert die Oberfläche des Kegels denn dann keinen Beitrag zum Fluss, bzw. wieso steht im Lehrbuch, dass dS ~ e_\theta gilt? Wie muss man sich das bildlich vorstellen? Ich würde mich wirklich sehr über jede Hilfe freuen! Liebe Grüße, Zauberlehrling


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Oberfläche der Kugel ist zweidimensional. Folglich ergibt $r^2\sin(\theta)\d r \d \phi\d\theta$ hier als "Volumenform" gar keinen Sinn. Du benötigst hier also das "Oberflächenelement". In einer Version für das Lebesgue-Integral lautet der Integralsatz $$ \int_{K} \opn{div}(F) \d\mathcal H^{3}=\int_{\partial K} \langle F,\nu\rangle \d\mathcal H^2, $$ wobei $\nu$ die nach außen gerichtete Einheitsnormale ist. Ist nun $U\subseteq \mathbb R^2$ offen und $\Phi\colon U\to \partial K$ "hinreichend nett", so liefert die Flächenformel für eine "hinreichend nette" Abbildung $f\colon \partial K\to \mathbb R$ $$ \int_{\partial K} f(y) \d\mathcal H^2(y)=\int_U (f\circ \Phi)(x) \sqrt{\det(\mathrm d\Phi^*(x)\mathrm d\Phi(x))} \d\lambda^2(x). $$ Mit Hilfe der Flächenformel kannst du das "Oberflächenelement" also auch berechnen. Edit: Im Prinzip benötigst du einfach eine Parametrisierung der Kugeloberfläche. Zum Beispiel die Abbildung $$ \Phi\colon (0,\pi)\times (0,2\pi)\to \mathbb R^3, \ (\theta,\phi)\mapsto \begin{pmatrix} R\sin(\theta)\cos(\phi)\\ R\sin(\theta)\sin(\phi) \\ R\cos(\theta)\end{pmatrix}. $$ Nun betrachtest du im Definitionsbereich von $\Phi$ ein Rechteck mit den Seitenlängen $\mathrm d\theta$ und $\mathrm d\phi$ und wendest darauf $\Phi$ an. Nun gilt es herauszufinden, welchen Flächeninhalt das daraus resultierende "Rechteck" auf der Kugeloberfläche hat. Natürlich ist das nur eine Heuristik, die aber gut funktioniert. LG Nico\(\endgroup\)


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Zauberlehrling
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Vielen Dank nzimme10! Die Antwort hat mehr sehr geholfen!


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