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  Hausdorffmaß und die Gammafunktion |
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Pathfinder
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 |  Themenstart: 2022-03-19
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Hallo,
ich hätte hier eine kurze Frage:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_Gammafunktion.png
Was hat es hier mit diesem w_s auf sich? Wofür brauche ich das bei dieser Kugelüberdeckung?
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-19
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
$\omega_s$ ist das Lebesgue-Maß der $s$-dimensionalen Einheitskugel im $\mathbb R^s$.
Zum Beispiel für $s=2$ erhalten wir
$$
\omega_2=\frac{\pi^{\frac 22}}{\Gamma(\frac 22+1)}=\frac{\pi}{\Gamma(2)}=\frac{\pi}{(2-1)!}=\pi.
$$
Die Idee bei diesem approximierten Hausdorff-Maß ist relativ clever. Möchte man z.B. im $\mathbb R^2$ die Länge einer Kurve messen, so könnte man die Kurve mit $2$-dimensionalen Kugeln (also Kreisscheiben) überdecken. Nimmt man allerdings für die Kugeln jeweils deren $2$-dimensionalen Flächeninhalt, so würde man beim Bilden des Infimums immer $0$ bekommen - ergibt ja Sinn; eine Kurve hat keinen Flächeninhalt*.
Daher nimmt man nun bei jeder Kugel als Maß nicht deren Flächeninhalt, sondern den Durchmesser der Kugel (das wäre dann bei einer $2$-dimensionalen Kugel vom Radius $r$ gerade die $1$-dimensionale Kugel mit Radius $r$, also hier ein Geradenstück). Aus technischen Gründen lässt man dabei jeweils nur Kugeln mit Radien kleiner oder gleich einem $\delta$ zu.
Hat man allgemeiner eine $s$-dimensionale Teilmenge $A$ in einem $\mathbb R^n$, so überdeckt man für ein $\delta>0$ die Menge $A$ mit $n$-dimensionalen Kugeln mit Radien kleiner oder gleich $\delta$. Von jeder dieser Kugeln nimmt man nun den "$s$-dimensionalen Äquator", der dann gerade der $s$-dimensionalen Kugel mit dem selben Radius entspricht. Von diesen $s$-dimensionalen Äquatoren nimmt man dann im $\mathbb R^s$ das $s$-dimensionale Lebesgue-Maß. Ist $B_r\subseteq \mathbb R^n$ solch eine Kugel vom Radius $r$, dann ist das Lebesgue-Maß des $s$-dimensionalen Äquators eben gerade $\omega_sr^s$.
Die ganzen Maße dieser $s$-dimensionalen Äquatoren der Kugelüberdeckung werden dann aufsummiert und dann das Infimum über alle solche Überdeckungen gebildet.
*Wir vergessen hier so etwas wie raumfüllende Kurven.
LG Nico\(\endgroup\)
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19
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\quoteon(2022-03-19 15:07 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
$\omega_s$ ist das Lebesgue-Maß der $s$-dimensionalen Einheitskugel im $\mathbb R^s$.
Zum Beispiel für $s=2$ erhalten wir
$$
\omega_2=\frac{\pi^{\frac 22}}{\Gamma(\frac 22+1)}=\frac{\pi}{\Gamma(2)}=\frac{\pi}{(2-1)!}=\pi.
$$
LG Nico
\quoteoff
Okay danke!
Die Idee des Hausdorffmaßes ist es ja über die Durchmesser der Kugelüberdeckungen zu summieren. Sagen wir mal im Fall s=2 erhalten wir w_2=pi und (r^2)_k also überdecken wir mit 2-dimensionalen Einheitskugeln die Menge A. Aber hier summieren wir ja über die Flächeninhalte pi*(r^2)_k auf. Oder sehe ich das falsch?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-19
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\quoteon(2022-03-19 15:25 - Pathfinder in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-19 15:07 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
$\omega_s$ ist das Lebesgue-Maß der $s$-dimensionalen Einheitskugel im $\mathbb R^s$.
Zum Beispiel für $s=2$ erhalten wir
$$
\omega_2=\frac{\pi^{\frac 22}}{\Gamma(\frac 22+1)}=\frac{\pi}{\Gamma(2)}=\frac{\pi}{(2-1)!}=\pi.
$$
LG Nico
\quoteoff
Okay danke!
Die Idee des Hausdorffmaßes ist es ja über die Durchmesser der Kugelüberdeckungen zu summieren. Sagen wir mal im Fall s=2 erhalten wir w_2=pi und (r^2)_k also überdecken wir mit 2-dimensionalen Einheitskugeln die Menge A. Aber hier summieren wir ja über die Flächeninhalte pi*(r^2)_k auf. Oder sehe ich das falsch?
\quoteoff
Ich habe meinen ersten Beitrag um eine Erklärung erweitert.\(\endgroup\)
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19
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\quoteon(2022-03-19 15:07 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
$\omega_s$ ist das Lebesgue-Maß der $s$-dimensionalen Einheitskugel im $\mathbb R^s$.
Zum Beispiel für $s=2$ erhalten wir
$$
\omega_2=\frac{\pi^{\frac 22}}{\Gamma(\frac 22+1)}=\frac{\pi}{\Gamma(2)}=\frac{\pi}{(2-1)!}=\pi.
$$
Die Idee bei diesem approximierten Hausdorff-Maß ist relativ clever. Möchte man z.B. im $\mathbb R^2$ die Länge einer Kurve messen, so könnte man die Kurve mit $2$-dimensionalen Kugeln (also Kreisscheiben) überdecken. Nimmt man allerdings für die Kugeln jeweils deren $2$-dimensionalen Flächeninhalt, so würde man beim Bilden des Infimums immer $0$ bekommen - ergibt ja Sinn; eine Kurve hat keinen Flächeninhalt*.
Daher nimmt man nun bei jeder Kugel als Maß nicht deren Flächeninhalt, sondern den Durchmesser der Kugel (das wäre dann bei einer $2$-dimensionalen Kugel vom Radius $r$ gerade die $1$-dimensionale Kugel mit Radius $r$, also hier ein Geradenstück). Aus technischen Gründen lässt man dabei jeweils nur Kugeln mit Radien kleiner oder gleich einem $\delta$ zu.
Hat man allgemeiner eine $s$-dimensionale Teilmenge $A$ in einem $\mathbb R^n$, so überdeckt man für ein $\delta>0$ die Menge $A$ mit $n$-dimensionalen Kugeln mit Radien kleiner oder gleich $\delta$. Von jeder dieser Kugeln nimmt man nun den "$s$-dimensionalen Äquator", der dann gerade der $s$-dimensionalen Kugel mit dem selben Radius entspricht. Von diesen $s$-dimensionalen Äquatoren nimmt man dann im $\mathbb R^s$ das $s$-dimensionale Lebesgue-Maß. Ist $B_r\subseteq \mathbb R^n$ solch eine Kugel vom Radius $r$, dann ist das Lebesgue-Maß des $s$-dimensionalen Äquators eben gerade $\omega_sr^s$.
Die ganzen Maße dieser $s$-dimensionalen Äquatoren der Kugelüberdeckung werden dann aufsummiert und dann das Infimum über alle solche Überdeckungen gebildet.
*Wir vergessen hier so etwas wie raumfüllende Kurven.
LG Nico
\quoteoff
Puh das ist erstmal viel Input. Ich versuche das mal Anhand eines Beispiels wiederzugeben. Sei A eine 2 dimensionale Fläche des 3 dimensionalen Raums R^3.
Jetzt überdecken wir A mit 3 dimensionalen Kugeln mit Radius r
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-19
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Genau, das ist die Idee. Allerdings erhalten wir damit noch nicht den Flächeninhalt von $A$. Wir erhalten zunächst das $2$-dimensionale approximierte äußere Hausdorff-Maß der Feinheit $\delta$ von $A$.
In einem nächsten Schritt wird versucht das $\delta$ loszuwerden um ein äußeres Maß zu erhalten. In einem letzten Schritt schränkt man dieses äußere Maß dann auf eine $\sigma$-Algebra ein, um ein Maß zu erhalten. Das wird man dann das $s$-dimensionale Hausdorff-Maß nennen. Diese Konstruktion ist technisch schon recht aufwändig.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19
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\quoteon(2022-03-19 15:58 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Genau, das ist die Idee. Allerdings erhalten wir damit noch nicht den Flächeninhalt von $A$. Wir erhalten zunächst das $2$-dimensionale approximierte äußere Hausdorff-Maß der Feinheit $\delta$ von $A$.
In einem nächsten Schritt wird versucht das $\delta$ loszuwerden um ein äußeres Maß zu erhalten. In einem letzten Schritt schränkt man dieses äußere Maß dann auf eine $\sigma$-Algebra ein, um ein Maß zu erhalten. Das wird man dann das $s$-dimensionale Hausdorff-Maß nennen. Diese Konstruktion ist technisch schon recht aufwändig.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]
\quoteoff
Ahh verstehe! Vielen Dank für die Erklärung! :)
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