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Funktionentheorie » Holomorphie » Beweis, dass diese Funktion holomorph ist
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Universität/Hochschule J Beweis, dass diese Funktion holomorph ist
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-03-27

Hallo Ich betrachte die folgende Funktion $f(z)=\overline{z}$ für $z\in \Bbb{C}$. Seien $z_1,z_2\in \Bbb{C}$ und $\gamma$ die direkte Verbindung von $z_1$ nach $z_2$ dann habe ich berechnet dass $$\int_\gamma f(z)dz=\frac{1}{2} (z_2-z_1)(\overline{z_2+z_1})$$. Nun wollte ich folgern dass $f$ nicht holomorph ist, indem ich dieses Integral irgendwie benutze. Doch es scheint mir ein Rätsel zu sein, wie ich das angehe. Wenn ich es mit der Definition zeigen möchte muss ich ja zeigen dass $f'(z)$ irgendwo nicht existiert. Dann dachte ich gut ich kann $f(z)$ darstellen als $(\int_\gamma f(z)dz )'$, aber ich weiss nicht ob mir das was bringt. Hätte da jemand einen Tipp? Vielen Dank für eure Hilfe!


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-27

Huhu Strandkorb, betrachte die CR-Gleichungen. Gruß, Küstenkind


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo Kuestenkind Vielen Dank für den Tipp. Würdest du diese auf $f$ oder $\gamma$ anwenden? Falls auf $f$ macht man es per Widerspruch? Und braucht man da wirklich das integral das ich berechnet habe?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-27

Auf \(f(z)=x-iy=u+iv\) natürlich. Hier sind also \(u=x\) und \(v=-y\). Gruß, Küstenkind


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Strandkorb
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo Kuestenkind Sorry kann es sein dass du meine Frage übersehen hast, ob man das Integral wirklich benötigt. Denn all die Wege mit den CR-Gleichungen geben einen Widerspruch ohne dass man das Integral benötigt, aber das wäre nicht das Ziel bei uns.


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Du könntest geeignete drei Punkte wählen und über das Dreieck integrieren, das diese Punkte als Ecken besitzt. Damit könntest du einen geschlossenen Weg finden, so dass das Integral von $f$ über diesen Weg nicht verschwindet. Dieses Integral kannst du dabei natürlich mit Hilfe deines angegebenen Integrals ausrechnen. LG Nico\(\endgroup\)


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Strandkorb
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-27

Hallo Nico Vielen Dank für die Antwort. Ah okei das sollte funktionnieren!


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