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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Integralsinusfunktion Sprungantwort des id. TP
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Universität/Hochschule J Integralsinusfunktion Sprungantwort des id. TP
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-03-30

Wie kommt man von $$h_{\epsilon}(t) = 2 f_g\left[\int_{-\infty}^{0}\operatorname{si}(2\pi f_g \tau)d\tau + \int_{0}^{t}\operatorname{si}(2\pi f_g\tau)d\tau\right]$$ auf $$h_{\epsilon}(t) = 2f_g\left[{1\over 4f_g} + {1\over 2\pi f_g} \operatorname{Si}(2\pi f_g t)\right]$$ Das erste Integral scheint anscheinend ${1\over 4f_g}$ zu ergeben, jedoch weiss ich nicht wie man darauf kommt. Wie wurde hier gerechnet? Beim zweiten Integral weiß ich, dass die Stammfunktion der $$\operatorname{si}(t) \quad (1)$$ Funktion, die Integralsinusfunktion ist. Also $$\operatorname{Si}(t) = \int_{0}^{t}\operatorname{si}(\xi)d\xi \quad (2)$$ aber wie man da auf ${1\over 2\pi f_g} \operatorname{Si}(2\pi f_g t)$ kommt, weiss ich auch nicht. Ich würde hier eine Substitution vermuten, da in $(2)$ die obere Intervallgrenze das Argument der Integralsinusfunktion darstellt.


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Squire
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-30

Servus Sinnfrei! In beiden Integralen hilft dir die Substitution $ \large x=2\pi f_g\tau$ weiter. $\large f_g$ wird sichtlich als positiv angenommen. Grüße Squire


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Also ich habe jetzt folgendes stehen $$\int_{-\infty}^{0} \operatorname{si}(2\pi f_g\tau)d\tau \underbrace{=}_{x=2\pi f_g \tau \\ {1\over 2\pi f_g}dx = d\tau} {1\over 2\pi f_g}\int_{-\infty}^{0}\operatorname{si}(x)dx = -{1\over 2\pi f_g } \int_{0}^{-\infty}\operatorname{si}(x)dx$$ und mit $\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)$, komme ich dann auf $$-{1\over 2\pi f_g}(-\operatorname{Si}(\infty)) \underbrace{=}_{\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2} = {1\over 2\pi f_g}\cdot {\pi\over 2} = {1\over 4 f_g}$$ Für das erste Integral und für das zweite Integral bekomme ich dann $$\int_{0}^{t}\operatorname{si}(2\pi f_g \tau)d\tau = {1\over 2\pi f_g} \int_{0}^{2\pi f_g t} \operatorname{si}(x)dx = {1\over 2\pi f_g}\operatorname{Si}(2\pi f_g t)$$ Vielen Dank auf jeden Fall, jetzt habe ich es verstanden.


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