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Integration » Integration im IR^n » Wie berechne ich dieses doppelte Integral?
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Universität/Hochschule J Wie berechne ich dieses doppelte Integral?
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-03-30

Hallo zusammen Ich habe hier eine Frage: Ich habe eine Funktion $f:(0,1)\rightarrow \Bbb{R}$ gegeben, so dass $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{\partial ^2}{\partial x\partial y} arctan\left(\frac{y}{x}\right)$. Ich muss $$\int_0^1 \int_0^1 f(x,y)~dx~dy$$ berechnen. Nun wollte ich zunächst das innere Integral berechnen, d.h. $$\int_0^1 f(x,y)dx$$ Meine Frage ist nun, kann ich sagen, dass $$\int_0^1 f(x,y)dx=-\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_\epsilon^1 \frac{\partial ^2}{\partial x\partial y} arctan\left(\frac{y}{x}\right)dx\stackrel{Schwarz}{=}-\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_\epsilon^1 \frac{\partial ^2}{\partial y\partial x} arctan\left(\frac{y}{x}\right)dx=-\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\frac{\partial}{\partial y}(arctan(y)-arctan(\epsilon))dy=-\frac{\partial}{\partial y}arctan(y)dy$$ Und dann würde ich das äußere Integral berechnen durch $$-\int_0^1 \frac{\partial}{\partial y} arctan(y) dy=-arctan(1)+arctan(0)=-\frac{\pi}{4}$$ Können wir das tun oder ist das völlig falsch?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-30

Es ist $f(x,y)=-f(y,x)$ und das Integrationsgebiet ist invariant unter der Vertauschung von $x$ und $y$. --zippy


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Hallo Zippy Okei das heisst ich könnte das minus weglassen müsste aber dann $x$ und $y$ vertauschen oder? Aber stimmt dsnn meine Rechnung so, also kann ich das mit partiellen Ableitungen einfach so machen (also ist das mathematisch korrekt) oder geht das nicht. Liebe Grüsse Strandkorb


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-30

\quoteon(2022-03-30 20:54 - Strandkorb in Beitrag No. 2) Okei das heisst ich könnte das minus weglassen müsste aber dann $x$ und $y$ vertauschen oder? \quoteoff Und was weißt du über Zahlen $J$ mit der Eigenschaft $J=-J$?


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Strandkorb
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Hallo Zippy Ja dann muss die Zahl 0 sein. Aber das kann nicht sein, denn die Integrale stimmen so, also die Resultate habe ich auch sonst im Internet gefunden einfach nicht mit diesem Weg. Vielen Dank für deine Hilfe.


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-30

Auch auf deinem Weg kommt 0 heraus, wenn du sauber rechnest:$$ \int_0^1\int_0^1{\partial\over\partial x}{\partial\over\partial y} \arctan\frac yx \;\mathrm dx\;\mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon\to0+} \int_\varepsilon^1\int_\varepsilon^1 {\partial\over\partial x}{\partial\over\partial y} \arctan\frac yx \;\mathrm dx\;\mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon\to0+} \int_\varepsilon^1 {\partial\over\partial y} \left[\arctan y-\arctan\frac y\varepsilon\right] \mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon\to0+}\left[ \arctan 1-\arctan\varepsilon-\arctan\frac 1\varepsilon+ \arctan\frac \varepsilon\varepsilon\right] =\\[3.2ex] 2\arctan 1-\lim_{\varepsilon\to0+}\arctan\frac1\varepsilon = 2\,\frac\pi4-\frac\pi2 =0$$


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Strandkorb
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Hallo Zippy Hmm habe es nun gerade mit dem TR noch überprüft und ich erhalte wirklich $\frac{-\pi}{4}$. Irgendwie komme ich nicht mehr draus. Es ist doch schon so, dass $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$ bedeutet, dass man zuerst partiell nach y ableitet und dann nach x


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-30

Die Frage ist, wie du die uneigentlichen Integrale liest: Entweder als$$ \lim_{\varepsilon\to0+}\int_\varepsilon^1\int_\varepsilon^1 \ldots\;\mathrm dx\;\mathrm dy$$oder als$$ \lim_{\varepsilon_1\to0+}\int_{\varepsilon_1}^1 \lim_{\varepsilon_2\to0+}\int_{\varepsilon_2}^1 \ldots\;\mathrm dx\;\mathrm dy\;.$$


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Strandkorb
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Hallo Also ich hätte sie einzel gelesen also mit zwei $\epsilon$'s. Wäre es dann die $-\frac{\pi}{4}$?


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-30

Ja, denn dann ergäbe sich:$$ \int_0^1\int_0^1{\partial\over\partial x}{\partial\over\partial y} \arctan\frac yx \;\mathrm dx\;\mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon_1\to0+}\int_{\varepsilon_1}^1 \lim_{\varepsilon_2\to0+}\int_{\varepsilon_2}^1 {\partial\over\partial x}{\partial\over\partial y} \arctan\frac yx \;\mathrm dx\;\mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon_1\to0+} \int_{\varepsilon_1}^1 {\partial\over\partial y} \left[\arctan y-\lim_{\varepsilon_2\to0+}\arctan\frac y{\varepsilon_2}\right] \mathrm dy = \\[3.2ex] \lim_{\varepsilon\to0+}\left[ \arctan 1-\arctan\varepsilon\right] = \frac\pi4$$


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Strandkorb
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-30

Hallo Zippy Ah perfekt super danke. Sorry nochmals kurz wie weiss ich aus einer solchen Aufgabenstellung ob ich den "gleichen" Limes für beide Integrale betrachten muss oder jeweils einen einzelnen, denn ich wäre nie auf die Idee gekommen einen gemeinsamen Limes zu betrachten.


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