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 Prädikatenlogik, warum wäre diese alternative Lösung falsch? |
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owehhoweh0
Junior 
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2022-03-30
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Ich soll sagen, dass in jeder Reihe ein grüner Stein steht.
isRow sagt, dass etwas eine Reihe ist
row(x,y) sagt: x ist ein Stein und liegt auf x
green(x) sagt: x ist grün
Unsere Lösung ist
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55480_abpng.png
Und als Bemerkung steht, dass
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55480_abipng2.png
das falsch sei, weil das auch Interpretationen erfülle, die gar keine grüne Kacheln habe, ich verstehe jetzt nur nicht, warum das die erste Formel nicht erfüllt, aber die zweite schon und deshalb die zweite falsch ist?
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2710
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Formeln können jedenfalls nicht äquivalent sein, weil es Interpretationen gibt, die sie unterscheiden.
Zum Beispiel:
* Einelementiges Universum,
* isRow: immer wahr
* green: beliebig
* row: immer falsch
Die erste Formel ist damit falsch, die zweite wahr.
In Interpretationen, wo isRow immer wahr ist, sind die beiden Formeln äquivalent zu
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x)\land green(x)$ bzw.
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x) \to green(x)$
Und über dieses Formelpaar solltest du ebenfalls wissen, dass die Formeln nicht äquivalent sind.\(\endgroup\)
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owehhoweh0
Junior
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-30 23:20 - tactac in Beitrag No. 1)
Die Formeln können jedenfalls nicht äquivalent sein, weil es Interpretationen gibt, die sie unterscheiden.
Zum Beispiel:
* Einelementiges Universum,
* isRow: immer wahr
* green: beliebig
* row: immer falsch
Die erste Formel ist damit falsch, die zweite wahr.
In Interpretationen, wo isRow immer wahr ist, sind die beiden Formeln äquivalent zu
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x)\land green(x)$ bzw.
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x) \to green(x)$
Und über dieses Formelpaar solltest du ebenfalls wissen, dass die Formeln nicht äquivalent sind.
\quoteoff
Warum sind die beiden denn nicht äquivalent? Also die, die Du eben geschrieben hast?
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tactac
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
\quoteon(2022-03-31 13:35 - owehhoweh0 in Beitrag No. 2)
[...]
\quoteon
In Interpretationen, wo isRow immer wahr ist, sind die beiden Formeln äquivalent zu
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x)\land green(x)$ bzw.
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x) \to green(x)$
Und über dieses Formelpaar solltest du ebenfalls wissen, dass die Formeln nicht äquivalent sind.
\quoteoff
Warum sind die beiden denn nicht äquivalent? Also die, die Du eben geschrieben hast?
\quoteoff
Weil in Interpretationen, wo row immer falsch ist, die erste Formel denselben Wahrheitswert hat wie $\forall x.\, \exists y.\, \bot$, und die zweite denselben wie $\forall x.\, \exists y.\, \top$
\(\endgroup\)
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owehhoweh0
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-31 14:19 - tactac in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-03-31 13:35 - owehhoweh0 in Beitrag No. 2)
[...]
\quoteon
In Interpretationen, wo isRow immer wahr ist, sind die beiden Formeln äquivalent zu
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x)\land green(x)$ bzw.
* $\forall x.\, \exists y.\, row(y,x) \to green(x)$
Und über dieses Formelpaar solltest du ebenfalls wissen, dass die Formeln nicht äquivalent sind.
\quoteoff
Warum sind die beiden denn nicht äquivalent? Also die, die Du eben geschrieben hast?
\quoteoff
Weil in Interpretationen, wo row immer falsch ist, die erste Formel denselben Wahrheitswert hat wie $\forall x.\, \exists y.\, \bot$, und die zweite denselben wie $\forall x.\, \exists y.\, \top$
\quoteoff
Sorry, deine beiden Formeln sind doch sehr trivial! Da das eine eine implikation hat und das andere nicht! Aber bei den beiden von mir oben, habne beide auch eine Implikation und die gleichen Bestandteile, warum sind die dann nicht äquivalent?
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StrgAltEntf
Senior
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-31 19:10 - owehhoweh0 in Beitrag No. 4)
Aber bei den beiden von mir oben, habne beide auch eine Implikation und die gleichen Bestandteile, warum sind die dann nicht äquivalent?
\quoteoff
Wenn zwei Formeln aus den gleichen Zeichen bestehen, müssen sie nicht äquivalent sein.
Noch ein Beispiel: \(\forall x\exists y:P(x,y)\) und \(\exists x\forall y:P(x,y)\)
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-31 19:10 - owehhoweh0 in Beitrag No. 4)
Sorry, deine beiden Formeln sind doch sehr trivial! Da das eine eine implikation hat und das andere nicht!
\quoteoff
Hä? Ja, eben!??!! Geht's dir gut?
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owehhoweh0
Junior 
Dabei seit: 30.03.2022
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-31 23:13 - tactac in Beitrag No. 6)
\quoteon(2022-03-31 19:10 - owehhoweh0 in Beitrag No. 4)
Sorry, deine beiden Formeln sind doch sehr trivial! Da das eine eine implikation hat und das andere nicht!
\quoteoff
Hä? Ja, eben!??!! Geht's dir gut?
\quoteoff
Ne meinte ja, deshalb sind die nicht äquivalent, da ist es sehr offensichtlich, bei deinem Beispiel, aber bei den von mir genannten Beispiel haben die beiden ja auch eine Implikation, nur ein Prädikat ist anders gesetzt
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owehhoweh0
Junior
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-31
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\quoteon(2022-03-31 19:20 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5)
\quoteon(2022-03-31 19:10 - owehhoweh0 in Beitrag No. 4)
Aber bei den beiden von mir oben, habne beide auch eine Implikation und die gleichen Bestandteile, warum sind die dann nicht äquivalent?
\quoteoff
Wenn zwei Formeln aus den gleichen Zeichen bestehen, müssen sie nicht äquivalent sein.
Noch ein Beispiel: \(\forall x\exists y:P(x,y)\) und \(\exists x\forall y:P(x,y)\)
\quoteoff
Das sei jetzt nicht Äquivalent? Nur weil wir die Quantoren gedreht haben? Das höre ich zum ersten Mal.
Aber mal eine andere Frage, sind die beiden Äquivalent:
∀x∃y(isRow(x)→(row(y,x) ∧green(y))
∀x(isRow(x)→∃y(row(y,x) ∧green(y))
??
Wäre hier die Äquivalenz gegeben?
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zippy
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2022-04-01
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\quoteon(2022-03-31 23:57 - owehhoweh0 in Beitrag No. 8)
Das sei jetzt nicht Äquivalent? Nur weil wir die Quantoren gedreht haben? Das höre ich zum ersten Mal.
\quoteoff
Hältst du die beiden Aussagen "zu jedem Schloss gibt es einen passenden Schlüssel" und "es gibt einen Schlüssel, der auf jedes Schloss passt" für äquivalent?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-04-01
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owehhoweh0
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Mitteilungen: 13
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-01
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Danke, kapiert, aber die beiden sind äquivalent oder:
∀x∃y(isRow(x)→(row(y,x) ∧green(y))
∀x(isRow(x)→∃y(row(y,x) ∧green(y))
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-04-01
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\quoteon(2022-04-01 00:15 - owehhoweh0 in Beitrag No. 11)
die beiden sind äquivalent oder:
∀x∃y(isRow(x)→(row(y,x) ∧green(y))
∀x(isRow(x)→∃y(row(y,x) ∧green(y))
\quoteoff
Wieso?
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tactac
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-04-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
\quoteon(2022-03-31 23:51 - owehhoweh0 in Beitrag No. 7)
\quoteon(2022-03-31 23:13 - tactac in Beitrag No. 6)
\quoteon(2022-03-31 19:10 - owehhoweh0 in Beitrag No. 4)
Sorry, deine beiden Formeln sind doch sehr trivial! Da das eine eine implikation hat und das andere nicht!
\quoteoff
Hä? Ja, eben!??!! Geht's dir gut?
\quoteoff
Ne meinte ja, deshalb sind die nicht äquivalent, da ist es sehr offensichtlich, bei deinem Beispiel, aber bei den von mir genannten Beispiel haben die beiden ja auch eine Implikation, nur ein Prädikat ist anders gesetzt
\quoteoff
Ersetze $isRow(x)$ in den Formeln aus #0 durch $\top$ und vereinfache.\(\endgroup\)
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owehhoweh0
Junior
Dabei seit: 30.03.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-01
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\quoteon(2022-04-01 00:42 - StrgAltEntf in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-04-01 00:15 - owehhoweh0 in Beitrag No. 11)
die beiden sind äquivalent oder:
∀x∃y(isRow(x)→(row(y,x) ∧green(y))
∀x(isRow(x)→∃y(row(y,x) ∧green(y))
\quoteoff
Wieso?
\quoteoff
keine Ahnung,d achte macht nichts aus
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